Теорема 2 (второй замечательный предел)

Существует предел .

Доказательство. Рассмотрим последовательность с общим членом

Покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона:

.

Преобразуем по этой формуле , полагая :

.

В полученном выражении:

третье слагаемое                 

четвертое                               =

и т.д., а последнее               

Получаем:

 (*)

Покажем, что последовательность  возрастающая, т.е. :

                             (**)

Так как  то  и т.д., поэтому каждое слагаемое (начиная с третьего) из равенства (*) меньше соответствующего слагаемого из равенства (**), кроме того, в равенстве (**) правая часть содержит на одно (положительное) слагаемое больше. Отсюда заключаем, что .

Покажем, что последовательность  ограничена (сверху), т.е.

Если в равенстве (**) каждую из скобок  заменить на 1 (на большее число), то получим неравенство:

Так как  то

.

По формуле суммы геометрической прогрессии имеем:

 поэтому .

Последовательность  возрастает и ограничена сверху, по теореме 1 существует предел, этот предел называют неперовым числом и обозначают через e. Итак,

.

Так как 2 < a_n < 3, то 2 < a_n  3, т.е. 2 < e  3. Это число e иррациональное и e  2,718282.

Число e широко используется как основание для показательной функции  (экспонента) и как основание для логарифмов   (натуральные логарифмы).

Рассмотрим (рис. 1.13) функцию y = , которая не определена на отрезке  (подумайте почему?). Ее область определения (– , –1) (0, + ).

Известно, что

и .

Нетрудно показать, что

.

Все записанные пределы объединяются одним названием второго замечательного предела.

Рассмотрим применение второго замечательногопредела для вычисления некоторых пределов.

Пример.Найти

Решение. Обозначим: 3n = m, n = . Если n , то m  и мы получим:

=

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Пусть a(x) и b(x) – б.м. функции при x ® a (x® + ¥, x ® –¥, x ® x₀, ...). Рассмотрим предел их отношения при x ® a.

1. Если  = b и b – конечное число, b ¹ 0, то функции a(x), b(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x ® a.

2. Если  = 0, то a(x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем b(x) при x ® a. Очевидно, в этом случае  = ¥.

3. Если a(x) – б.м. высшего порядка, чем b(x), и  = b ¹ 0 (b – конечное число, k Î N), то a(x) называют бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с b(x) при x ® a.

4. Если не существует   (ни конечный, ни бесконечный), то a(x), b(x) называют несравнимыми б.м. при x ® a.

5. Если   = 1, то a(x), b(x) называются эквивалентнымиб.м. при x ® a, что обозначается так: a(x) ~ b(x) при x ® a.

Пример 1. a(x) = (1 – x)³, b (x) = 1 – x³.

Очевидно, что при x ® 1 функции a(x), b(x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x ® 1:

=

Вывод: a(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с b(x) при x ® 1.

Нетрудно убедиться, что  =  (убедитесь!), откуда следует, что a(x) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с b(x) при x ® 1.

Пример 2. Функции a₁(x) = 4x, a₂ (x) = x², a₃(x) = sinx, a₄(x) = tgx являются бесконечно малыми при x ® 0. Сравним их:

 = 0, ,  = 1,  = ¥.

Отсюда заключаем, что a₂(x) = x² – б.м. высшего порядка, по сравнению с a₁(x) и a₃(x) (при x ® 0), a₁(x) и a₃(x) – б.м. одного порядка, a₃(x) и a₄(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x ® 0.

Теорема 1. Пусть a(x) ~ a₁(x), b(x) ~ b₁(x) при x ® a. Если существует , то существует и , и  = .

Доказательство.  = 1,  = 1,

 =  = .

Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3. Найти .

В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x ® 0, поэтому

 = = .

Теорема 2. Бесконечно малые функции a(x) и b(x) эквивалентны (при x ® a) тогда и только тогда, когда a(x) – b(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) и b(x) (при x ® a).

Доказательство

Пусть a(x) ~ b(x) при x ® a. Тогда =  = 0, т.е. разность a(x) – b(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) при при x ® a (аналогично с b(x)).

Пусть a(x) – b(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) и b(x), покажем, что a(x) ~ b(x) при x ® a:

 =  = +  = 1,

 т.е. a(x) ~ b(x) при x ® a.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство. Пусть a(x) – б.м. низшего порядка по сравнению с b(x) и g(x) при x ® a, т.е.  = 0 и  = 0.

Покажем, что a(x) ~ (a(x) + b(x) + g(x)) при x ® a:

 =  +  +  = 1 + 0 + 0 = 1.

Доказанные теоремы применяются для нахождения пределов.

Пример 4. Найти .

По теореме 3 при x ® 0: 4x + 2x³ ~ 4x , sin²x + 3tg5x + x³ ~ 3tg5x, тогда

 =  =  = .