![]() Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Бесконечно-малые функции и их свойства
Функция a(х) называетсябесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а Используя определение предела фикции при х ® +¥, можно перефразировать этог определение: функция a(х) называетсябесконечно малой при х ® +¥, если для любого положительного числа e найдется такое число x0 что для всех х, больших x0, выполняется неравенство: |a(х)|<ε. Символически это выглядит так: Аналогично формулируются определения б.м. при x ® +¥, х ® x0, и т.д. Пример 1. Функция a(х) = Пример 2. Покажем, что a(х)= Действительно, неравенство Докажем некоторые теоремы о б.м. функциях. Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых функций (при Доказательство. Проведем доказательство для случая
Аналогично для
Пусть x0 – большее из чисел Учитывая, что
Пример 3. Функция Для дальнейшего нам потребуется понятие ограниченности функции. Функция f(x) называетсяограниченной на некотором множестве М, если существует такое положительное число К, что для всех Пример 4. Функция sinx и cosx ограничены на множестве R всех действительных чисел, так как Пример 5.Функция tgx не является ограниченной на интервале Будем говорить, что функция f(x) ограничена при Теорема 2. Если существует Доказательство. Проведем доказательство для случая Пусть
Это и означает, что f(х) ограничена на интервале ( Следствие 1. Любая б.м. функция при Теорема 3. Если существует Доказательство. Пусть
Так как
Следовательно, Теорема 4. Произведение б.м. функции (при х Доказательство. Пусть функция Зафиксируем произвольное ε > 0 и покажем, что найдется x0, такое, что По определению б.м. при
Пусть
т.е. f(х) Следствие 2. Произведение функции б.м. при Следствие 3. Произведение двух б.м. функций есть функция б.м. (при Замечание. Если 1.7. Бесконечно большие функции, их свойства и связь Функция F(x) называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) при x ® +¥ Функция F(x) называется бесконечно большой при x ® x0 (при x ® x0–0 или Очевидно, что всякая бесконечно большая функция не является ограниченной при Если F (x) – б.б. функция при x ® a, то говорят, что F (x) стремится к бесконечности и пишут: Пример 1. F1(x) = x2 является б.б. при x ® +¥ и x ® -¥, причем F1(x) > 0, поэтому можно записать: Пример 2. F2(x) =
Следующие две теоремы устанавливают связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. Теорема 1. Если функция F(x) является б.б при x ® a, то функция Доказательство. Пусть F(x) – б.б. при x ® x0–0, покажем, что По определению функции б.б. при x ®x0–0 для числа K = Теорема 2. Если a(x) – б.м. при x ® a и a(x) ¹ 0, то Доказательство. Доказательство аналогично предыдущему. Теоремы 1 и 2 позволяют получить свойства б.б. функций, аналогичные свойствам б.м. функций. Свойство 1. Если F1(x), F2(x) – б.б. при x ® a, то функция F1(x), F2(x) – б.б. при x ® a. Свойство 2. Если F1(x), F2(x) – б.б. функции при x®a, причем F1(x) > 0 и Свойство 3. Если F(x) – б.б. при x ® a и число C ¹ 0, то CF(x) – б.б. при x ® a. Замечание. Если F1(x) и F2(x) – б.б. функции при x ® a, но имеют разные знаки, то F1(x) + F2(x) может быть как б.б., так и б.м. при x ® a, как иметь предел при x ® a, так и не иметь его. |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-29; просмотров: 268. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |