Первый замечательный предел

Рассмотрим функцию y = , аргумент x (как всегда в математическом анализе) выражается в радианах. При x = 0 функция  не определена.

Теорема.  = 1 (первый замечательный предел).

Доказательство

1) Пусть a – положительный острый угол, докажем  = 1. Предварительно докажем, что sina = 0 и cosa = 1.

Рассмотрим окружность радиуса R  (рис. 1.12), OA = OC = R, тогда длина дуги АС равна: R×a, АВ = R×sina. Так как |AB| < | |, то 0 < sina < a. Если a ® 0, то по теореме 8 (разд. 1.8) sina = 0. Докажем, что cosa = 1. Так как cosa = 1 – 2sin² , то на основании теорем о пределах получим:

cosa = (1 – 2sin² ) = 1 – 2×0 = 1.

Вычислим теперь .

Из рис. 1.12 видим, что

S_DOAC < S_{секторOAC} < S_DODC.                                                 (*)

S_DOAC = R²sina, S_{секторOAC}= R²×a, S_DODC = R²tga.

Подставляя последние выражения в неравенства (*), находим:

R²sina < R²×a < R²tga.                                         (**)

Деля все части неравенства (**) на положительное число R²sina, получим:

1 <  <   или 1 >  > cosa                                  (***)

Применяя к неравенству (***) теорему о сжатой переменной при a  ®  0 получим:

 = 1 (ведь cosa = 1).

2) Пусть x < 0, x = –a, тогда a > 0, = = =1.

Итак, доказано, что  = 1, , а потому .

С помощью этого предела находятся многие другие пределы, содержащие тригонометрические функции.

Второй замечательный предел

Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности (см. разд. 1.3, 1.4).

Рассмотрим возрастающую последовательность:  Для нее  для любого натурального n. Если эта последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела, так как ее члены неограниченно возрастают. Если же возрастающая последовательность ограничена, то она имеет предел.Этот факт доказывается в полных курсах математического анализа [6], мы приведем лишь его полную формулировку.

Теорема 1 (достаточный признак существования предела последовательности)

Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Применим эту теорему для доказательства следующей теоремы.