Логическая и математическая символика

Введение

Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики, которое может быть полезно для организации учебного процесса на факультете дистанционного обучения при самостоятельной подготовке студентов к экзаменам. Оно поможет без помощи преподавателя организовать планомерное изучение материала не только основных понятий и положений теории, но и основных приемов и методов решения задач.

В учебном пособии рассматриваются следующие темы: введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функций одной переменной, на которых базируется вся математика. Учебное пособие создано на основе опыта преподавания высшей математики в Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете на технических и гуманитарных факультетах.

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров и задач различной трудности.

После каждого раздела приводятся экзаменационные вопросы. Более подробное изложение данного материала можно найти в книгах, учебных пособиях и монографиях, указанных в списке литературы.

Специфика работы с пособием состоит в том, что сначала необходимо ознакомиться с базовыми понятиями и методами математического анализа, изложенными в соответствующих разделах, затем изучить практическую часть (главу 3), а затем перейти к выполнению контрольной работы, предусмотренной программой. Выполненную контрольную работу следует направить на рецензирование. В случае если рецензент обнаружит ошибки в контрольной работе, рекомендуется проработать материал до полного усвоения неясностей, сделать работу над ошибками в той же тетради, в которой была выполнена контрольная работа, и вернуть ее на повторное рецензирование.

Последним этапом работы с данным пособием является экзамен (зачет), вопросы к которому также приведены в заключительной части данного пособия.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Логическая и математическая символика

В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.

Математические символы:

Например, применяя символ «>» к числам a, b, получим запись «a > b», которая является сокращением для предложения: «число a больше числа b». Если  – обозначения прямых, то запись  есть утверждение, что  параллельна . Запись «x M» означает, что x является элементом множества M.

Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к высказываниями предикатам.

Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2  2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2  2 = 4».

Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение: «число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x, а предложение: «a + b = c» – предикат от трех переменных a, b, c.

Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.

Будем обозначать предикаты как функции: Q(x) =«x > 0», F(x,b,c) = «x + b = c».

Логические символы: .

1. Отрицание применяется к одному высказыванию или предикату, соответствует частице «не» и обозначается .

Например, формула  есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).

2. Конъюнкцияприменяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается: А & B (или A  B).

Так формула (–3 > 0) & (2  2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2  2 = 4», которое, очевидно, ложно.

3. Дизъюнкцияприменяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается A B .

Предложение: «число x принадлежит множеству  или множеству » изображается формулой: .

4. Импликациясоответствует союзу «если ..., то ...» и обозначается: A B.

Так, запись «a > –1  a > 0» есть сокращение для предложения «если a > –1, то a > 0».

5. Эквиваленция A B соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B».

Символы  называются кванторами общности и существования, соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор  читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор  читается: «существует», «найдется» и др.

6. Квантор общности применяется к предикату F(x, ...), содержащему одну переменную (например, x) или несколько переменных, при этом получается формула xF(x,...), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F(x, ...)»или «все x обладают свойством F(x, ...)».

Например: x(x > 0) есть сокращение для фразы: «любое x больше 0», которая является ложным высказыванием. Предложение: a(a > 0  a > –1) является истинным высказыванием.

7. Квантор существования, примененный к предикату F(x,...) соответствует предложению «существует x, такой, что F(x,...)» («найдется x, для которого F(x,...)») и обозначается: xF(x,...).

Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается формулой x(x R & x² = 2). Здесь квантор существования применен к предикату: F(x)=(x R & x² = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R).

Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F(x, y) содержит две переменные, то в предикате xF(x, y) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x). К предикату xF(x, y) можно применить квантор общности или существования по переменной y, тогда полученная формула xF(x, y)или xF(x, y) является высказыванием.

Так, предикат «|sinx| < a» содержит две переменные x, a. Предикат x (|sinx| < a) зависит от одной переменной a, при  этот предикат обращается в ложное высказывание (|sinx| < ), при а = 2 получаем истинное высказывание x (|sinx| < 2).

Если к предикату x (|sinx| < a)применить квантор существования, то получим формулу: , выражающую истинное высказывание: «функция sinx является ограниченной».

Для некоторых формул введем сокращенную запись.

Так, вместо формулы x(x R & x² = 2)           будем писать: x R(x² = 2),

вместо                  x(x > 0 & x² + 3 = 4)      пишем:       x > 0(x² + 3 = 4).

Формулу                x (x R  x²  0)       сократим так: x R(x²  0) и т.д.

Будем называть  и т.д. ограниченными кванторами.

Несколько кванторов общности (существования) заменяем на один: вместо  пишем x,y(P(x,y)), вместо  будем писать .

Множества

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечно много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов, его называют пустым и обозначают символом Æ.

В математическом анализе чаще всего рассматриваются числовые множества, за некоторыми из них закреплены специальные обозначения. Так, множество всех натуральных чисел обозначаются через N и записывают так: N = {1,2,3,...}. Далее, через Z обозначают множество всех целых чисел, содержащее как натуральные числа, так и 0, и целые отрицательные числа; Z= {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Рациональным называется число, которое можно представить в виде отношения двух целых чисел:  (pÎZ, qÎZ, q¹0). Множество всех рациональных чисел обозначается через Q. Символически определение множества рациональных чисел можно записать так: Q {  | pÎZ & qÎZ & q¹0}. Здесь знак  заменяет слово «называется». Заметим, что множество можно задать перечислением элементов, а можно описанием свойств элементов (предикатом), как в последнем случае.

Известно, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью, конечной и бесконечной периодической. Например, рациональное число 5/6 представимо бесконечной периодической дробью 5/6 = 0,83333..., а число 3/8 = 0,375. В последнем случае можно считать десятичную дробь тоже бесконечной с числом 0 в периоде: 3/8 = 0,3750000... . Известно, что всякую периодическую бесконечную дробь можно обратить в обыкновенную дробь p/q.

Иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается через R. Иными словами, множество действительных чисел R – это множество всех бесконечных десятичных дробей.

Пусть M₁, M₂ – некоторые множества. Если каждый элемент множества M₁ является элементом множества M₂, то говорят, что M₁ есть подмножество множества M₂ и обозначается M₁ Ì M₂. Итак, M₁ Ì M₂ тогда и только тогда, когда "x(xÎM₁ ® xÎM₂).

Из определения числовых множеств можно заключить, что N Ì Z,  Z Ì Q,  Q Ì R. Множество действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных (о которых мы сейчас говорить не будем), т.е. R Ì C.

Часто рассматриваются подмножества действительных чисел (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] называемые, соответственно, интервалом, отрезком, полуинтервалом. Дадим символические определения этих множеств, а слово «называется» заменим на знак :

(a, b) {xÎR| a < x < b}; [a, b] {xÎR| a £ x £ b};

(a, b] {xÎR| a < x £ b}; [a, b) {xÎR| a £ x < b }.

Заметим, что на числовой оси каждое действительное число изображается определенной точкой и любая точка числовой оси задает некоторое число, поэтому [a, b] изображается множеством всех точек отрезка, вместе с концами a, b, в то время как (a, b) – множеством точек отрезка без концов a, b.

Объединение AÈB, пересечение AÇB

Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами (см. пример 2) . В примерах 1, 2 функции заданы аналитически.

Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Такими являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Графический способ: в этом случае соответствие между значениями x и y задается с помощью графика.

Среди числовых функций особое место занимают функции с областью определения A = N. Пусть аргумент функции f(x) принимает только значения 1, 2, 3,....n,...

Обозначим f(1) = a₁, f(2) = a₂, ...,  f(n) = a_n, ... Такую функцию называют последовательностью, a₁ – первый член, ..., a_n – n-й член этой последовательности.

Рассмотрим свойства, которыми могут обладать (или не обладать) некоторые функции.

Функция f(x) называется возрастающейна множестве M (строго), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Символически это может быть записано так: "x₁, x₂ÎM(x₁ < x₂ ® f(x₁) < f(x₂)).

Функция f(x) называется убывающей (строго) на множестве M, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Символически:
"x₁, x₂ÎM(x₁< x₂ ® f(x₁) > f(x₂)).

Функция, убывающая или возрастающая на множестве M, называется монотонной на множестве M.

В качестве примера рассмотрим функцию y = x². На интервале (–¥, 0) это убывающая функция, а на интервале (0, + ¥ ) – возрастающая.

Функция f(x) называется ограниченной сверху на множестве M, если существует такое число k, что для любого значения xÎM f(x) < k.

Символически это может быть записано так:  $k "xÎM (f(x) < k).

Аналогично дается определение функции, ограниченной снизу.

Если функция ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной. Так, функция y = ограничена снизу на множестве A (пример 1), а функция из примера 2 ограничена сверху на множестве R.

Функция f(x) называется четной, если "xÎA (f(–x) = f(x)), и называется нечетной, если "xÎA (f(–x) = –f(x)).

Например, функция y = x² является четной, а y = sinx – нечетной.

Функция f(x) называется периодической с периодом T (T ¹ 0 ), если
"xÎA(f(x + T) = f(x)).

Известно, что все тригонометрические функции являются периодическими.

Введем важные понятия сложной и обратной функции.

Если переменная y является функцией от x, y = f(x); а x – функция от переменной t: x = j(t), то y = f(j(t)) является функцией от t и называется сложной функцией или функцией от функции.

Например, пусть y = x², x = sint, тогда функция y = (sint)² является сложной.

Пусть y = f(x) с областью определения A и множеством значений B такова, что для любого значения yÎB существует единственное значение xÎB, такое, что f(x) = y, тогда переменная x является функцией от y, обозначим x = j(y). Эту функцию называют обратной для y = f(x). Для обратной функции x = j(y) область определения B, а множество значений A. Иногда функцию, обратную к функции y = f(x), обозначают: .

Например, для функции y = x² с областью определения [0, +¥) и таким же множеством значений обратной является функция: x = .

В дальнейшем часто будет использоваться понятие абсолютной величины числа, а также понятие e – окрестности точки.

Абсолютной величиной числа a называется неотрицательное число, обозначаемое |a|, такое, что

|a| = .

Неравенство |x| < m ( m > 0 ) равносильно двойному неравенству –m < x < m, неравенство |x – x₀| < e (e > 0) равносильно x₀ – e < x< x₀ + e. Множество точек с таким свойством (рис. 1.1) является интервалом (x₀ – e, x₀ + e) и называется e – окрестностью точки x₀ (рис. 1.1).