Пределы функции на бесконечности

Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.

Предел функции при x ® +¥

Пусть функция y = f(x) определена на множестве всех действительных чисел R или на бесконечном интервале (a, +¥).

Число b называют пределом функции f(x)при стремлении x к +¥ (x® +¥), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при достаточно больших x.

Обозначение: .

Пример 1. Функция y =  определена на интервале (0, +¥). Составим таблицу ее некоторых значений и построим ее график (рис. 1.2):

x		1			5	10	20
y	4	3		2,5	2,2	2,1	2,05

Из таблицы видно, что значения функции приближаются к числу 2 с увеличением x.

Убедимся, что = 2.

Разность  показывает, на сколько отличается f(x) от 2. Так, если x равно 10, то f(x) отличается от 2 на 1/10, а если x = 100, то f(x) – 2 = 1/100. Разность
f(x) – 2 может стать меньше любого заданного положительного числа e, если x взять достаточно большим. Например, e = 1/1000. Чтобы определить, для каких значений x выполняется неравенство f(x) – 2 < 1/1000, надо решить это неравенство: , отсюда x > 1000.

Пусть e – произвольное (малое) положительное число, тогда найдется такое x₀, что f(x) – 2 < e для всех x > x₀. Действительно, f(x) – 2 = , < e, x > . Обозначив x₀ = , получаем, что для всех x, если x > x₀, то f(x) – 2 < e. Итак мы показали, что  = 2.

Пример 2. Функция y =  определена на (–2, +¥). Выпишем таблицу ее некоторых значений и построим график (рис. 1.3).

x	0	1	2	3	10	98	998
y		0

Из таблицы значений и графика (рис. 1.3) видим, что с ростом x значения f(x) приближаются к 1, оставаясь меньше 1.

Покажем, что  =1. Разность f(x) – 1 отрицательна, поэтому вычислим ее абсолютную величину:

Покажем, что |f(x) – 1| может стать меньше любого заданного положительного числа e при достаточно больших x. Для этого решим неравенство  < e, получим: 2 + x  > , и x >  – 2. Обозначим:  x₀ = 2. Таким образом, если x > x₀, то
| f(x) – 1| < . Например, возьмем в качестве e число 0,01, тогда:

x₀ =  – 2 = 300 – 2 = 298, x₀ = 298.

Если x > 298, то  < 0,01. Этим мы показали, что  = 1 (рис. 1.3).

Дадим строгое определение предела функции при x® +¥.

Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к +¥, если для любого положительного числа e найдется такое число x₀, что для всех x, больших x₀, выполняется неравенство:

f(x) – b | < e .

Геометрическая интерпретация этого определения приведена на рис. 1.4. В логических символах это определение выглядит так:

f(x) = b означает "e > 0 $x₀ "x > x₀ ( | f(x) – b | < e ).

Пример 3. Доказать, что  = 0 x Î (0, +¥).

Доказательство:f(x) = . Зафиксируем произвольное e > 0, покажем, что найдется такое x₀, что для всех x, больших x₀: | f(x) – 0 | < e. Действительно,

| f(x) – 0 | =   = ;
< e Û x >  .

Обозначим: x₀ = , тогда при x > x₀: |f(x) – 0 | < e, значит,  = 0.

Пусть для некоторой функции y = f(x) f(x )= b, геометрически это означает, что точки графика y = f(x) приближаются к точкам прямой y = b (с той же абсциссой) при неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что прямая y = b является асимптотой графика y = f(x) при x® +¥. Неравенство:
| f(x) – b | < e равносильно двойному неравенству: b – e < f(x) < b + e. Из определения предела следует, что по произвольному e > 0 найдется такое x₀, что для всех x, больших x₀, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + e, y = b – e.

Предел последовательности

Как отмечалось раньше, любая последовательность a₁, a₂, ..., a_n , ... есть функция натурального аргумента, a_n = f(n), n Î N. Определение предела последовательности почти дословно повторяет определение предела функции при x®+Ґ.

Число b называется пределом последовательности {a_n}, если для любого e > 0 существует такое натуральное число n₀, что для всех натуральных n, больших n₀, выполняется неравенство: | a_n – b | < e. Обозначение: a_n = b.

Доказать самостоятельно, что  = 0.

Предел функции при x® -¥

Пусть функция y = f(x) определена на R или (–¥, a). Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к –¥ (x ® –¥), если для любого положительного числа e существует такое x₀, что для всех x, меньших x₀, выполняется неравенство:
| f(x) – b | < e. Обозначение: f(x) = b.

Геометрически этот факт означает, что точки графика y = f(x) (рис. 1.5) приближаются как угодно близко к соответствующим точкам прямой y = b при движении x влево неограниченно и что по фиксированному e > 0 найдется число x₀, такое, что для всех x, меньших x₀, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми:

y = b + e, y = b – e.

Доказать самостоятельно, что  = 0

Рассмотренные пределы объединяются общим названием «пределы на бесконечности». Не надо думать, что любая функция, определенная на R, имеет предел при          x ® +¥ или x ® –¥. Например, sinx не существует, так как значения sinx при неограниченном возрастании x периодически меняются от –1 до +1, не приближаясь ни к какому постоянному числу. Аналогично, не существует sinx. Последовательность: a₁= 1, a₂= 3, a₃= 5, ..., a_n = 2n – 1, ... также не имеет предела.

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (возможно, определена на R), но в самой точке x₀ функция f(x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (x ® x₀), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x₀ достаточно близко. Обозначение: f(x) = b.

Пример 1. Функция y =  определена во всех точках числовой оси, за исключением x₀ = 2. Найдем f(x), для этого вычислим значения f(x) для x, близких к 2, и построим график: y = f(x). Заметим, что для x ¹ 2:  = 2x.

График функции: y =  совпадает с прямой: y = 2x для всех x ¹ 2
(рис. 1.6). Из таблицы и графика видим, что значения f(x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

Покажем, что  = 4. Для этого убедимся, что | f(x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем: |f(x) – 4| = |  – 4 | = | 2x – 4 |, так как x ¹ 2.

Потребуем, чтобы |f(x) – 4| < , тогда из неравенства: |2x – 4| <  получаем |x – 2| < . Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству: 2 – < x < 2 + , выполняется неравенство |f(x) – 4| < .

Аналогично можно показать, что |f(x) – 4| <  , если 2 –  < x < 2 +  и, вообще, для любого (малого) положительного числа e: |f(x) – 4| < e, если 2 –  < x < 2 +  (или, что то же самое, | x – 2 | < ). Обозначим  = d. Итак,  = 4.

Дадим строгое определение предела функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (при стремлении x к x₀), если для любого положительного числа e найдется положительное число d, такое, что для любого x ¹ x₀ и удовлетворяющему неравенству: x₀ – d < x < x₀ + d, выполняется неравенство: | f(x) – b| < e.

Символически f(x) = b означает:

"e > 0 $d > 0 "x ¹ x₀ (x₀ – d < x < x₀ + d ® | f(x) – b | < e).                     (*)

Заметим, что условие:

«x ¹ x₀  и x₀ – d < x < x₀ + d»

можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x₀ | < d , и тогда формула (*) примет вид:

"e > 0 $d > 0 "x (0 < | x – x₀ | < d ® | f(x) – b | < e).

Если f(x) = b, то на графике функции y = f(x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x₀ не далее, чем на d, значения f(x) отличаются от b не более чем на e.

Пример 2. Показать, что x = x₀.

В самом деле f(x) = x, поэтому для любого e > 0: | f(x) – x₀ | < e при условии | x – x₀ | < e (здесь d = e).