Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке

Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x₀, при которых переменная x «движется» к x₀ слева (левосторонний предел) или справа (правосторонний предел). Нам потребуется понятие полуокрестности.

Пусть d > 0. Интервал (a, x₀) называется левой полуокрестностью точки x₀, интервал (x₀ – d, x₀) – левой d-полуокрестностью точки x₀. Интервалы (x₀, b), (x₀, x₀ + d) называются, соответственно, правой полуокрестностьюи правойd-полуокрестностью точки x₀ (см. рис. 1.8, 1.9).

Число b называется левосторонним пределом функции f(x) в точке x₀ (обозначение: f(x) = b), если для любого e > 0 найдется d > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих левой d-полуокрестности (x₀ – d, x₀), выполняется неравенство:
|f(x) – b| < e.

Символически f(x) = b означает: "e>0$d > 0 "x(x₀ – d < x < x₀ ® | f(x) – b | < e) (см. рис. 1.8).

Аналогично, число b называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x₀ (обозначение: f(x) = b), если для любого e > 0 найдется d > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих правой d-полуокрестности (x₀, x₀ + d), выполняется неравенство: | f(x) – b | < e  (см. рис. 1.9).

Символически f(x) = b означает: "e >0 $d >0 "x(x₀ < x < x₀ + d ® |f(x) – b| < e).

Пример 3. Функция f(x) задана равенством (рис. 1.10):

f(x) =   .

Найти f(x) и f(x).

Решение. Покажем, что f(x) = 1, а f(x) = 3.

Рассмотрим значения x < 1, тогда f(x) = 2x – 1 и | f(x) – 1| = |2x – 1 – 1| = 2|x – 1|. Зафиксируем малое e > 0. Подсчитаем: | f(x) – 1| < e Û 2 |x – 1| < e Û  |x – 1| < . Так как x < 1, то
 f(x) – 1| < e, если 1 –  < x < 1, следовательно, d = . Итак, если 1 –  < x < 1, то
| f(x) – 1| < e, т.е. f(x) = 1.

Рассмотрим значения x > 1, тогда f(x) = 4 – x. Зафиксируем e > 0,

| f(x) – 3| = |2 – x – 3| = |1 – x|. Отсюда | f(x) – 1| < e Û |1 – x| < e, т.е. | f(x) – 1 | < e для
 x Î (1, 1 + e). Значит,  f(x) = 3.

Очевидно, если f(x) = b, то f(x) = b и f(x) = b.

Верно и обратное, если f(x) = f(x) = b, то f(x) = b.

Если же правосторонний предел функции в точке x₀ не равен левостороннему пределу функции в точке x₀, то f(x) = b не существует. Так, в примере 3 функция f(x) не имеет предела в точке x₀.