Применение центральной предельной теоремы.

а) Пусть — независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями

Предположим, что условия центральной предельной теоремы выполнены и число слагаемых п достаточно для того, чтобы закон распределения величины можно было считать приближенно нормальным.

Тогда вероятность того, что случайная случайная величина У попадает в пределы участка , выражается фопмулой

Где       математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины V,

Ф* — нормальная функция распределения.

b) Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретьых случайных величин является теорема Лапласа.

Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то справедливо соотношение

где Y — число появлений события А в n опытах, q = l — р.

Задача 18.16

Экзаменационный Билет №36

Оценка числовых характеристик по неполным данным.

Числовые характеристики системы 2-х случайных величин

Начальным моментом порядка k, s системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения Х^k на Y^s:  

α_{k, s}=M[X^kY^s]

Центральным моментом порядка k, s системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин:

µ_{k, s}=

где,                

Для прерывных случайных величин:          

,

где p_ij = P((X=x_i)(Y=y_j)) - вероятность того, что система (X, Y) примет значения (x_i, y_j), а суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных величин X, Y.

Для непрерывных случайных величин:

Mатематические ожидания величин X и У, входящих в систему:

m_x= α_1,0 = M[X¹Y⁰] = M[X]

m_x= α_0,1 = M[X⁰Y¹] = M[Y]

Дисперсии величин X и У:                D_x = µ_{2, 0}= =

D_y = µ_{0, 2}=  =

Характеристика К_xy называется корреляционным моментом:

Для прерывных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Характеристика  называется коэффициентом корреляции величин X и Y:

, где - средние квадратические отклонения величин X, Y.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать по линейному закону. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами.

Если случайные величины X а У связаны точной линейной функциональной зависимостью: Y=aX+b, то | | = 1.

Задача 18.13