Случайная величина. Функция и плотность распределения вероятностей для случайных величин.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Такие случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.

Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины X.

Многоугольник распределения

Функция распределения — самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных.

Эта функция обозначается F(x): F(x)=P(X<x).

Некоторые общие свойства функции распределения.

v Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при.

v На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F (-∞) = 0.

v На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F (∞) = 0.

График функции распределения F (х) в общем случае представляет собой график неубывающей функции (рис. 5.2.2), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).

Действительно

Плотность распределения:

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распределения F(x), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от х до х+Δх:

Р (х < X < х + Δx) = F (х + Δх) — F (х).

Рассмотрим среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать Δx к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

Функция f(х)=F’(x) - производная функции распределения - называется плотностью распределения непрерывной случайной величины X. Она существует только для непрерывных случайных величин.

Иногда функцию f(x) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «дифференциальным законом распределения» величины X.

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.

Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от α до β через плотность распределения:

Основные свойства плотности распределения.

· Плотность распределения есть неотрицательная функция:

· Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице: