Нормальная функция распределения вероятности. Интеграл вероятности.

Найдем функцию распределения F(x) случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами m, σ. Плотность распределения величины X равна:

Математическое ожидание: m_x=m, а дисперсия D_x=σ².

Отсюда находим функцию распределения: F(x) =

Сделаем замену переменной:  и приведем его к виду:    F(x) =

Интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения  или  (так называемый интеграл вероятностей), для которого составлены таблицы.

Условимся называть функцию  нормальной функцией распределения.

Выразим функцию распределения величины X с параметрами m и σ через нормальную функцию распределения:      F(x) =

Теперь найдем вероятность попадания случайной величины X на участок от α до β. Согласно формуле:                                P(α<x<β) = -

Применение центральной предельной теоремы.

а) Пусть — независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями

Предположим, что условия центральной предельной теоремы выполнены и число слагаемых п достаточно для того, чтобы закон распределения величины можно было считать приближенно нормальным.

Тогда вероятность того, что случайная случайная величина У попадает в пределы участка , выражается фопмулой

Где       математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины V,

Ф* — нормальная функция распределения.

b) Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретьых случайных величин является теорема Лапласа.

Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то справедливо соотношение

где Y — число появлений события А в n опытах, q = l — р.

Задача 15.7

Экзаменационный Билет №27

Закон Пуассона.

Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0,1,2,..., m, ..., а вероятность того, что X = m, выражается формулой

где а > 0 — параметр закона Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной по закону Пуассона, равны параметру закона а: m_x = а = D_x .

для вычисления вероятности Р_{m, n} того, что событие А появится ровно m раз, можно воспользоваться приближенной формулой

О парной и групповой зависимости случайных событий.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

События  называются независимыми в совокупности, если для любого и любого набора различных меж собой индексов  имеет место равенство:

Если события  независимы в совокупности, то они попарно независимы, т.е. любые два события независимы. Достаточно в равенстве взять

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Задача 31.10

Экзаменационный Билет №28