Теорема умножения вероятностей.

Событие А называется зависимым(независимым) от события В, если вероятность события А (не) зависит от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А|В).

Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р(А|В) = Р(А), а условие зависимости в виде: Р(А|В) ≠ Р(А).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

P(AB) = Р(А)*Р(В\А) = P(B)*P(A\B).

Интегральное преобразование случайных функций.

Дана случайная функция X (t) с математическим ожиданием m_x (t) и корреляционной функцией K_x(t, t'). Случайная функция Y (t) связана с X (t) линейным однородным оператором интегрирования:

Y(t) =

Требуется найти характеристики случайной функции Y (t): m_y(t) и K_y(t, t’).

Y(t)= =

По теореме сложения математических ожиданий имеем:

m_y(t) = M[Y(t)] =  = =

Итак           m_y(t) =

т. е. математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания.

Найдем корреляционную функцию К_y(t, t'). Для этого перейдем к центрированным случайным функциям:

(t) = X(t) – m_x(t); (t) = Y(t) – m_y(t)

Нетрудно убедиться, что (t) =

По определению корреляционной функции,

K_y(t, t') = M[ (t) (t’)]=

Таким образом, для того чтобы найти корреляционную функцию интеграла от случайной функции, нужно дважды проинтегрировать корреляционную функцию исходной случайной функции: сначала по одному аргументу, затем — по другому.

Задача 3.16

Экзаменационный Билет №30

Теорема сложения вероятностей.

Теория сложения вероятностей формируется следующим образом: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A)+P(B)

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде:

Следствие 1. Если события А₁, А₂…, А_n образуют, полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Доказательство. Так как события А₁, А₂…, А_n образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них — достоверное событие: P(A₁+ A₂ +…+A_n) = 1

P(A₁+ A₂ +…+A_n) = P(A₁)+ P(A₂)+…+ P(A_n) =

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: