Дифференциальное преобразование случайных функций.

Дана случайная функция X(t) с математическим ожиданием m_x(t) и корреляционной функцией К_x(t, t'). Случайная функция Y(t) связана со случайной функцией X(t) линейным однородным оператором дифференцирования:

Требуется найти m_y(t) и К_y(t, t’).

Представим производную в виде предела:

                   è   m_y(t) = M[Y(t)] =

т. е. математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания.

Для определения K_y(t, t’) перейдем к центрированным случайным функциям Y(t) и X(t); очевидно,            (t)=

По определению K_y(t, t’) = M[ (t) (t’)] = M[ ] =

                   è K_y(t, t’) =

Итак, чтобы найти корреляционную функцию производной, нужно дважды продифференцировать корреляционную функцию исходной случайной функции: сначала по одному аргументу, затем — по другому.

Если случайная функция X(t) с математическим ожиданием m_x(t) и корреляционной функцией K_x(t, t') преобразуется линейным однородным оператором L в случайную функцию

Y(t) = L{X(t)};

то для нахождения математического ожидания случайной функции Y(t) нужно применить тот же оператор к математическому ожиданию случайной функции X(t):

m_y(t) = L{m_x(t)}

а для нахождения корреляционной функции нужно дважды применить тот же оператор к корреляционной функции случайной функции X(t), сначала по одному аргументу, затем — по другому:                   K_y(t, t’) = L­­^(t)­L^(t'){K_x(t, t’)}

Дисперсию Dy (t) можно найти, зная корреляционную функцию:

D_y (t) = K_y(t, t).

Задача 4.16

Для получения небрака:

+) В первой технологии:

+) Во второй технологии:

Но

Экзаменационный Билет №31