Числовые характеристики системы 2-х случайных величин.

Начальным моментом порядка k, s системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения Х^k на Y^s:  

α_{k, s}=M[X^kY^s]

Центральным моментом порядка k, s системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин:

µ_{k, s}=

где,                

Для прерывных случайных величин:          

,

где p_ij = P((X=x_i)(Y=y_j)) - вероятность того, что система (X, Y) примет значения (x_i, y_j), а суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных величин X, Y.

Для непрерывных случайных величин:

Mатематические ожидания величин X и У, входящих в систему:

m_x= α_1,0 = M[X¹Y⁰] = M[X]

m_x= α_0,1 = M[X⁰Y¹] = M[Y]

Дисперсии величин X и У:                D_x = µ_{2, 0}= =

D_y = µ_{0, 2}=  =

Характеристика К_xy называется корреляционным моментом:

Для прерывных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Характеристика  называется коэффициентом корреляции величин X и Y:

, где - средние квадратические отклонения величин X, Y.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать по линейному закону. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами.

Если случайные величины X а У связаны точной линейной функциональной зависимостью: Y=aX+b, то | | = 1.

Задача 6.7.

Экзаменационный Билет №21

Системы случайных величин. Закон распределения, функция распределения.

Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин, ее составляющих: помимо этого, они включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинами.

Результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами.

Закон распределения:

F(x,y)=P((X<x)(Y<y))= .

F(x,+∞)=F₁(x) ,                   F(+∞, y)=F₂(y)

Функция распределения системы двух случайных величин:

Функцией распределения системы двух случайных величин (X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств Х<х и У<у: F(x,y)=P((X<x)(Y<y)).

Функцией распределения системы n случайных величин (X₁,Х₂, ..., Х_n) называется вероятность совместного выполнения n неравенств вида X_i < x_i:

F(x₁,x₂,…,x_n)=P((X₁<x₁) (X₂<x₂)… (X_n<x_n))

Свойства функции распределения системы случайных величин:

v Функция распределения F(x, у) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т.е. при  и

v Повсюду на -∞ функция распределения равна нулю: F(-∞,y)=F(x,-∞)=0.

v При одном из аргументов, равном +∞, функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

v F(x,+∞)=F₁(x) , F(+∞, y)=F₂(y), где F₁(x), F₂(y) — соответственно функции распределения случайных величин X и Y.

v Если оба аргумента равны +∞, функция распределения системы равна единице: F(+∞,+∞)=1.