Линейные преобразования случайных функций.

Пусть на вход линейной системы с оператором L воздействует случайная функция X (t), причем известны ее характеристики: математическое ожидание m_x(t) и корреляционная функция K_x(t, t'). Реакция системы представляет собой случайную функцию Y(t) = L(X(t)).

Требуется найти характеристики случайной функции Y(t) на выходе системы: my(t) и Ky(t, t'). Короче: по характеристикам случайной функции на входе линейной системы найти характеристики случайной функции на выходе.

Покажем сначала, что можно ограничиться решением этой задачи только для однородного оператора L. Действительно, пусть оператор L неоднороден и выражается формулой:

L(X(t)) = L₀(X(t))+ρ(t).

где L₀—линейный однородный оператор, ρ(t)— определенная неслучайная функция. Тогда

m_y(t) = M[L₀{X(t)}] + ρ(t).

т. е. функция ρ(t) просто прибавляется к математическому ожиданию случайной функции на выходе линейной системы. Что же касается корреляционной функции, то, как известно, она не меняется от прибавления к случайной функции неслучайного слагаемого.

Поэтому в дальнейшем изложении под «линейными операторами» будем разуметь только линейные однородные операторы.

Решим задачу об определении характеристик на выходе линейной системы сначала для некоторых частных видов линейных операторов.

Первое обобщение схемы независимых испытаний.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А, причем вероятность появления события А в i-м опыте равна p_i, а вероятность непоявления qi=1 – pi(i= 1...n). Требуется найти вероятность Р_m,n того, что в результате n опытов событие А появится ровно m раз.

Вероятность того, что событие А в n независимых опытах появится ровно m раз, равна коэффициенту при x^m в выражении производящей функции:

где p_i — вероятность появления события А в i-м опыте, q_i = 1 – p_i

Задача 32.9

Экзаменационный Билет №25

О замечательных свойствах законов Пуассона, показательного и нормального з.р.в.

имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром , и пишут: , если имеет следующую плотность распределения:

Функция распределения случайной величины непрерывна:

Для случайной величины Т, распределенной по показательному закону m_t=1/α; D_t=1/α².

 2.Первое и второе обобщение схемы независимых испытаний.

1. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А, причем вероятность появления события А в i-м опыте равна p_i, а вероятность непоявления qi=1 – pi(i= 1...n). Требуется найти вероятность Р_m,n того, что в результате n опытов событие А появится ровно m раз.

Вероятность того, что событие А в n независимых опытах появится ровно m раз, равна коэффициенту при x^m в выражении производящей функции:

где p_i — вероятность появления события А в i-м опыте, q_i = 1 – p_i

2.Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых событие

А₁ появится m₁раз с вероятностью p₁

А₂ появится m₂ раз с вероятностью p₂

_{......................}

А_k появится m_k раз с вероятностью p_k

И  . Требуется найти вероятность Рn,m₁m₂,...,m_k того, что в результате n опытов событие А_i появится ровно m_i раз.

Такая вероятность равна коэффициенту при  в выражении производящей функции:

Задача 7.14

Вероятность попадания при пятом выстреле:

Первый случай (стрелок) 0.4; 0.5; 0.45; 0.55; 0.5;

Второй случай (стрелок) 0.5; 0.4; 0.55; 0.45; 0.6

То вероятность того, что первым произвел выстрел первый стрелок:

Экзаменационный Билет №26