Зависимые и независимые случайные величины .

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины X и Y называются зависимыми.

Плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.

Задача 5.10.

Для не совместных событий

Экзаменационный Билет №22

Плотность распределения системы 2-х случайных величин, плотность распределения отдельных величин, входящих в систему.

Функция  называется плотностью распределения системы.

Выражение для плотности распределения величины X:

F₁(x) = F(x,∞)

Аналогично:                            F₂(y) = F(∞,y)

Неравенство Чебышева.

A. Первая формула.

Если х – случайная неотрицательная велична, то

Доказательство:

1.Пусть величина X прерывная, с рядом распределения

2. Для непрерывных величин

B. Вторая формула.

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием m_x и дисперсией D_x. Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число а, вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на   , ограничена сверху величиной : .

Доказательство:

1.Пусть величина X прерывная, с рядом распределения 

2. Для непрерывных величин

Примечание.

Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения. На практике в большинстве случаев вероятность того, что величина X выйдет за пределы участка значительно меньше ¹/₉

Задача 21.3

Экзаменационный Билет №23

Условные законы распределения для системы случайных величин.

Выражение для плотности распределения величины X:

Аналогично:

Таким образом, для того чтобы получить плотность распределения одной из величин, входящих в систему, нужно плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине.

Условным законом распределения величины X, входящей в систему (X, Y), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение у.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью. Условная функция распределения обозначается F(х\у), условная плотность распределения f(х \ у).

Выражения условных законов распределения через безусловные:

Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределенных случайных величин.

Если  независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием  и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы

неограниченно приближается к нормальному.

И тогда вероятность того, что случайная величина Y попадет в промежуток , выражается формулой

,

где  - функция Лапласа;

; .

Задача 29.7

Экзаменационный Билет №24