Интеграл вероятности, его применение для вычисления вероятности попадания на заданный интервал.

Найдем функцию распределения F(x) случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами m, σ. Плотность распределения величины X равна:

Математическое ожидание: m_x=m, а дисперсия D_x=σ².

Отсюда находим функцию распределения: F(x) =

Сделаем замену переменной:  и приведем его к виду:    F(x) =

Интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения  или  (так называемый интеграл вероятностей), для которого составлены таблицы.

Условимся называть функцию  нормальной функцией распределения.

Выразим функцию распределения величины X с параметрами m и σ через нормальную функцию распределения:     

Теперь найдем вероятность попадания случайной величины X на участок от α до β. Согласно формуле:                               

Числовые характеристики функции случайных величин.

1- Если X — дискретная случайная величина с рядом распределения

а величина У связана с X функциональной зависимостью то матическое ожидание величины У равно

а дисперсиявыражается любой из двух формул

Если (X, Y) — система дискретных случайных величин, распределение которой характеризуется вероятностями , a   то математическое ожидание величины Z равно

а дисперсиявыражается любой из двух формул

2- Если X — непрерывная случайная величина с плотностью распределения , а , то математическое ожидание величины У равно

а дисперсия выражается любой из двух формул

Если (X, У) — система непрерывных случайных величин с плотностью , a , то математическое ожидание величины Z равно

а дисперсия выражается любой из двух формул  

Если — система п непрерывных случайных величин с плотностью а , то

Задача 18.2.

Экзаменационный Билет №20

Правило 3-х сигм.

Пусть имеется нормально распределённая случайная величина x с математическим ожиданием, равным а и дисперсией s².           

 Определим вероятность попадания x в интервал (а – 3s; а + 3s), то есть вероятность того, что x принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.

P(а – 3s< x < а + 3s)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)

По таблице находим Ф(3)=0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практически равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3s.