Показательное ( экспоненциальное ) распределение, его числовые характеристики.

 имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром , и пишут: , если имеет следующую плотность распределения:

Функция распределения случайной величины  непрерывна:

Для случайной величины Т, распределенной по показательному закону m_t=1/α; D_t=1/α².

2. Теоремы о числовых характеристиках: , , , .

1- Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:

Доказательство.

2- Дисперсия линейной функции:

где К_ij — корреляционный момент величин Х_i, X_j.

Доказательство.

 Введем обозначение:  Тогда

где — корреляционный момент величин

Вычислим этот момент. Имеем:

Подставляя это выражение в (1), приходим к формуле

В частном случае, когда все величины (X₁ X₂, .... Х_n) некоррелированны, то дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.

3- Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

Доказательство.

Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

4- Дисперсия произведения независимых случайных величин:

Доказательство.

Задача 7.3.

Экзаменационный Билет №18

Нормальное распределение случайных величин, его характеристики.

Найдем функцию распределения F(x) случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами m, σ. Плотность распределения величины X равна:

Математическое ожидание: m_x=m, а дисперсия D_x=σ².

Отсюда находим функцию распределения:

Мерой точности называется величина, обратно пропорциональная среднему квадратическому отклонению σ:               

Пользуясь мерой точности h, можно записать нормальный закон в виде:

2.Теоремы о числовых характеристиках:

Математическое ожидание неслучайной величины

Если с — неслучайная величина, то

2- Если с — неслучайная величина, то

3- Если с — неслучайная величина, а X — случайная, то

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак мате матического ожидания.

Доказательство.

а) Для прерывных величин

б) Для непрерывных величин

4- Если с — неслучайная величина, а X — случайная, то

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.

Доказательство.

По определению дисперсии

Следствие  т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения ее абсолютным значением.

5- математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Доказательство.

Задача 7.8.

Экзаменационный Билет №19