Закон больших чисел для зависимых случайных величин.

Теорема Маркова.

Если имеются зависимые случайные величины и если при

то среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин  сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство. Рассмотрим величину

Применим к величине Y неравенство Чебышева:

Так как по условию теоремы при , то при достаточно большом n

 или, переходя к противоположному событию,

что и требовалось доказать.

Задача 15.4.

По формуле Бернули

Экзаменационный Билет №8

Схема независимых испытаний. Биномиальное распределение.

Нескольно опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из овытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Вероятность Р_m,n появления события м раз при n независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события равна р, определяется биномиального распределения:

Где q = 1 – p : вероятность не появления события.

Теорема Пуассона, как одна из форм закона больших чисел.

Теорема, устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных условиях опыта,

называется теоремой Пуассона и формулируется следующим образом:

Если производится п независимых опытов и вероятность появления события А в i-м опыте равна р_i, то при увеличении п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей p_i.

Задача 13.9.

Экзаменационный Билет №9

Обобщение схемы независимых испытаний. Локальная теорема Муавра – Лапласа.

1. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А, причем вероятность появления события А в i-м опыте равна p_i, а вероятность непоявления qi=1 – pi(i= 1...n). Требуется найти вероятность Р_m,n того, что в результате n опытов событие А появится ровно m раз.

Вероятность того, что событие А в n независимых опытах появится ровно m раз, равна коэффициенту при x^m в выражении производящей функции:

где p_i — вероятность появления события А в i-м опыте, q_i = 1 – p_i

2.Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых событие

А₁ появится m₁раз с вероятностью p₁

А₂ появится m₂ раз с вероятностью p₂

_{......................}

А_k появится m_k раз с вероятностью p_k

И  . Требуется найти вероятность Рn,m₁m₂,...,m_k того, что в результате n опытов событие А_i появится ровно m_i раз.

Такая вероятность равна коэффициенту при  в выражении производящей функции:

Локальная теорема Муавра – Лапласа.

Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина   ограничена равномерно по m и n , то

Эта формула работает плохо при малых р, а хорошо при р = q

Теорема Бернулли, как одна из форм закона больших чисел.

Теорема Бернулли устанавливает связь между относительной частотой появления события и его вероятностью.

Если m число появления события А в n независимых испытаниях с вероятностью успеха в одном испытании p, , то для любого справедливо .

Это означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов  приближается к вероятности p успеха в одном испытании.

Задача 13.1 (а,б).

Экзаменационный Билет №10