Свойства плотности распределения.

Свойство 1. .

Свойство 2.Плотность распределения—неотрицательная функция: . Поскольку F(x)—неубывающая функция, то F’(x)≥0. Следовательно —неотрицательная функция.

Свойство 3.Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до +∞ равен единице: . В формуле (1) подставим х=+∞, . Поскольку , то .

Свойство 4.Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение из множества В, равна интегралу по множеству В от плотности распределения. .

Свойство 2.Для того чтобы  необходимо и достаточно, чтобы случайные величины Х и Y были связанны линейной зависимостью. Т.е.  с вероятностью 1.

Свойство 3.Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, т.е. r=0.

Док-во: Пусть Х и Y—независимы, тогда по свойству математического ожидания

Опр.Две случайные величины Х и Y называют коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля.

Опр. Случайные величины Х и Y называют некоррелированнымиесли их коэффициент корреляции равен 0.

Замечание. Из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Коэффициент корреляции характеризует тенденцию случайных величин к линейной зависимости. Чем больше по абсолютной величине коэффициент корреляции, тем больше тенденция к линейной зависимости.

Опр.Коэффициентом асимметрии случайной величины Х называется число

Знак коэффициента асимметрии указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию.

Опр.Эксцессом случайной величины Х называется число .

Характеризует сглаженность кривой распределения по отношению к кривой нормального распределения.

Перейдем к пределу при , т.е.  

.▲

—формула Пуассона.

Полиномиальное распределение.

Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E₁, E₂, …, E_k, P(E_i)=p_i, . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E₁ появиться r₁ раз, E₂ – r₂ раз, …, E_k – r_k раз вычисляется по формуле:

где  Эта формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли.

Свойство 2. Для любых

Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при замене знаков ≤ и < на < и ≤.

Свойство 3. , . , .

Свойство 4. Функция F(x) непрерывна слева. (т.е. ).

Свойство 5. Вероятность того, что значение случайной величины Х больше некоторого числа х, вычисляется по формуле. .

Достоверное событие {-∞<x<+∞} представим в виде двух несовместимых событий. . Найдем их вероятности .

Поскольку вероятность достоверного события равна единице, то . Отсюда .