Центральная предельная теорема. 

Теорема. (Ц.П.Т.).Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения и конечное математическое ожидание а и дисперсию G². Тогда при  вероятность того, что , где . N(x)—функция стандартного нормального распределения.

Замечание 1. Центральная предельная теорема обосновывает тот факт, что нормальное распределение встречается в природе чаще других.

Док-во: . .

Свойство 5.

Док-во: . Если Z=1 .

.

Следовательно, .

Свойство 6.Если Х₁,Х₂,…,Х_n—независимые целочисленные случайные величины, то производящая функция .

Док-во: .

Свойство 2.Характеристическая функция случайной величины , где a, b—некоторые числа. .

Док-во: .

Свойство 3.Если случайные величины —независимы, то характеристическая функция суммы данных случайных величин равна произведению характеристических функций этих случайных величин, т.е. .

Свойство 4.Если М , характеристическая функция случайной величины  n раз дифференцируема, причем , где .

Отсюда  (т.к. ).