Дискретные случайные величины. Законы распределения биномиальное, геометрическое и Пуассона.

Опр. Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений, т.е. Ω_х—конечно или счетно.

Опр. Законом распределения дискретной случайной величины Х называется совокупность пар чисел вида (х_i, р_i), где x_i—возможные значения случайной величины, а p_i—вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т.е. , причем .

Опр. Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), если она может принимать целые неотрицательные значения  с вероятностями .

Опр. Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ (λ>0), если она принимает целые неотрицательные значения  с вероятностями . Обозначают , т.е. случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ.

Опр. Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р (0<р<1), если она принимает натуральные значения  с вероятностями , где q=1-p.

.

Мат ожидание ДСВ и их свойства.

Опр. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через MX или М(Х).  – случайная величина Х принимает конечное число значений. – принимает счетное число значений, причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Свойства математического ожидания:

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C)=C.Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая принимает одно возможное значение С с вероятностью 1. Следовательно, .

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X).

Ряд распределения случайной величины СХ

Математическое ожидание случайной величины СХ .

Опр.Случайные величины X₁,X₂,…,X_n называются независимыми, если для любых числовых множеств B₁,B₂,…,B_n .

Дисперсия, свойства. Начальные и центральные моменты.

Опр. Дисперсией случайной величины называется число .

Опр. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число .

Свойства дисперсии.

Свойство 1.Дисперсия постоянной величины С равна 0.DC=0.

.

Свойство 2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

.

Свойство 3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .

Непрерывные случайные величины. Свойства плотности распределения.

Опр. Говорят, что случайная величина Х имеет плотность вероятности или плотность распределения вероятностей , если существует функция p(x) такая, что функция распределения  (1).

Опр.Случайная величина называется непрерывной, если она имеет плотность распределения.

Пусть р(х)—непрерывная функция. Тогда

 Где , α—бесконечно малая величина при Δх→0.  Т.к. , при Δх→0. Таким образом, . .