Числовые характеристики 2-х случайных величин.

 Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий используют и другие характеристики. К их числу относятся ковариация и коэффициент коррекции.

Опр. Ковариацией между случайными величинами Х и Y называется число , где .Для непрерывных случайных величин X и Y используют формулу . Покажем, что если случайные величины Х и Y независимы, то . Пусть Х и Y—непрерывные случайные величины

Опр. Коэффициентом корреляции между случайными величинами Х и Y называется число .

Свойства корреляции.

Свойство 1.Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы, т.е. .

Производящие функции и их свойства.

Опр.Под целочисленной случайной величиной будем понимать дискретную случайную величину, которая может принимать значения 0,1,2,… Таким образом, если случайная величина Х—целочисленная, то она имеет ряд распределения

Опр.Пусть Х—целочисленная величина, ее производящей функцией называется функция

Свойства производящих функций.

Свойство 1.Производящая функция  определена в области .

Свойство 2.Производящая функция

Свойство 3.Значение производящей функции в точке Z=1, P(1)=1.         Док- во: .

Свойство 4. Если Z=1, то MX=P’(1)

Характеристические функции и их свойства.

Опр1 Случайная величина , где i—мнимая единица, а X и Y—действительные случайные величины, называется комплекснозначной случайной величиной.

Опр2Математическим ожиданием комплекснозначной случайной величины Z называется . Все свойства математического ожидания остаются справедливыми для комплекснозначных случайных величин.

Опр3 Комплекснозначные случайные величины Z₁=X₁+iY₁ и Z₂=X₂+iY₂ называются независимыми, если независимы соответственно .

Свойство комплекснозначных случайных величин.

Если комлекснозначные случайные величины Z₁ и Z₂—независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий, т.е. .

Опр4 Характеристической функцией случайной величины  называется функция .

Формулы для вычисления характеристической функции.

Случай 1. Пусть —дискретная случайная величина с рядом распределения

	x1	x2	…
Р	p1	p2	…

.

Случай 2. Пусть —целочисленная случайная величина с плотностью . Тогда характеристическая функция .

Свойства характеристических функций.

Свойство 1.Характеристическая функция определена для любой случайной величины. При этом , .

Док-во: . . Поскольку , то

Закон больших чисел в форме Чебышева и Бернулли.

Опр1. Последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… называется сходящейся по вероятности к случайной величине Х, если  при . Обозначается .

Опр2. Говорят, что последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… удовлетворяют закону больших чисел, если .

Теорема 1. Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию DX, справедливо неравенство Чебышёва:

Для . .

Док-во:

                                                                                 .

Таким образом, , .

Теорема 2. (закон больших чисел в форме Чебышёва).

Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной, т.е. . Тогда эта последовательность удовлетворяет закону больших чисел.

Док-во: Обозначим через . Нужно доказать, что . .