Теорема 3. (Закон больших чисел в форме Бернулли).

Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании, тогда .

Док-во: Введем случайные величины μ_i—число успехов в i-ом испытании. Тогда .

,  (т.к. ).

 (т.е. дисперсия ограничена ). μ₁, μ₂,…, μ_n—независимы. По закону больших чисел в форме Чебышёва . . .

В чем смысл закона больших чисел в форме Бернулли?

Пусть в результате эксперимента может произойти или не произойти событие А. P(A)—вероятность события А в одном эксперименте. Эксперимент повторяется N раз, N(A)—число появлений события А в этих N экспериментах.  —относительная частота появления события А. . N(A)=μ, .

Таким образом, закон больших чисел в форме Бернулли теоретически подтверждает устойчивость относительных частот, т.е. стабилизацию при большом числе испытаний относительной частоты вокруг вероятности (относительная частота ≈Р(А)).

Замечание 2. При больших , поэтому . ЦПТ можно записать в другой форме: .

Если взять B₁=]-∞,x₁[ ; B₂=]-∞,x₂[ ; … ; B_n=]-∞,x_n[, то .

—совместимая функция распределения случайных величин Х₁,Х₂,…,Х_n. Таким образом, .

Свойство 3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

Свойство 4.Математическое ожидание суммы двух случайных величин рано сумме математических ожиданий слагаемых: .

Теорема 1. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .

Будем рассматривать в качестве случайной величины Х число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х₁—число появлений события в первом испытании, Х₂—во втором,…, Х_n—в n-ом, то общее число появлений события . По свойству 4:

. А . Таким образом, получим .

Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании: .

Случайная величина Х—число появлений события А в n независимых испытаниях. , где Х_i—число наступлений событий в i-ом испытании, взаимно независимые, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных. .

. Т.к. MX₁=p. , то . Очевидно, что дисперсия остальных случайных величин также равна pq, откуда .

Опр. Начальным моментом порядка kслучайной величиныХназывают математическое ожидание случайной величины Х^k: . В частности, , .  —> .

Опр. Центральным моментом порядка kслучайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-МХ)^k. . В частности ,  —> .