Число выборок, свойства сочетаний, геометрические вероятности.

Общая таблица числа выбора:

		С возвращением
		Без возвращения
упорядоченная	Неупорядоченная	Выборка

Опр. Упорядоченная выборка без возвращения наз. размещением. Число размещений . Опр. Перестановкой из k элементов наз. совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке.  P_k-число перестановок из k элементов: . Опр. Произвольное k-элементное подмножество множества из n элементов наз. сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через : , 0≤k≤n. Свойства сочетаний: 1) ; 2) . Док-во : 3)  4)  Док-во: .

Свойства вероятности.

1)Вероятность невозможного события равна 0, т.е. . Док-во: .

 2)Вероятность достоверного события равна 1, т.е. . Док-во:

.3) Для любого события вероятность лежит в пределах от 0 до 1, т.е. . Д-во: ; .

4)(Теорема сложения вероятностей): если события А и В несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во:  

5)(обобщенная теорема сложения вероятностей) .Док-во:

Условная вероятность.Независимость.

Опр. Условной вероятностьюсобытия B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение , (реже ). . .

Теорема (умножение вероятностей): .

Теорема (обобщенная теорема умножения).

                   .

Доказательство:

.

Опр. События А и В называются независимыми, если .

Свойство. События А и В независимы тогда и только тогда когда P(B/A)=P(B). . Пусть P(B/A)=P(B), тогда  А и В независимы.

Опр. События А₁,А₂,…,А_n называются независимыми (или независимыми в совокупности), если  (для i≠j; i,j {1,2,3,…,n})–попарная независимость событий; , …,

.

Формула полной вероятности и Байеса.

Теорема 1.Если события Н₁, Н₂,…,Н_n образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности: , или . ▲Так как события образуют полную группу, то можно записать . Событие А может произойти только с одним из событий H_i, i {1,2,…,n}, то А=АН₁+АН₂+…+АН_n. По теореме сложения вероятностей ▲

Теорема 2.Пусть события Н₁, Н₂, …, Н_n образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:

,

Доказательство: По теореме умножения вероятностей

. Отсюда находим вероятность . Остается в знаменателе подставить вместо —формула полной вероятности.

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа).

Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянная и отлична от 0 и 1, т.е. 0<p<1, то вероятность того, что событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях.

, где ; , q=1-p.

Имеются специальные таблицы значений функций φ(х). Нужно учитывать, что функция φ(х)–четная, т.е. φ(х)=φ(-х).