Числовые характеристики системы дискретных СВ (математическое ожидание, дисперсия, ковариация, коэффициент линейной корреляции и его свойства).(тетр)

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности :

Математическое ожидание называют также средним значением случайной величины Х, подчеркивая статистический смысл понятия, или центром распределения случайной величины Х (по аналогии с понятием центра тяжести для системы материальных точек).

Свойства математического ожидания:

1) если случайная величина Х принимает постоянное значение Х=С= =const, то М(С)=С;

2) М(СХ)=СМ(Х), С = const;

3) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y);

4) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X×Y)=M(X)×M(Y).

Наряду с характеристиками положения большую роль играют характеристики рассеяния. Рассеяние случайной величины Х связано с отклонением этой величины от ее центра распределения М(Х). Чтобы учитывать отклонения противоположных знаков, удобно рассматривать квадраты отклонений.

Дисперсией D(X) случайной величины Х называют средний квадрат отклонения случайной величины от ее центра распределения:

Используя свойства математического ожидания, можно записать более удобную формулу для подсчета дисперсии

.

Для того, чтобы рассматривать отклонение в тех же единицах, что и значения случайной величины, вводится еще одна характеристика – среднее квадратическое отклонение s(Х), которое определяется как

.

Свойства дисперсии:

1) D(X) ³ 0;

2) если С=const, то D(С) = 0;

3) , С=const;

4) D(X ± Y) = D(X) + D(Y).

Корреляционным моментом или ковариацией случайных величин Х и У называется математическое ожидание произведения соответствующих центрированных величин

Если случайные величины независимы, то их ковариация равна нулю. Обратное утверждение верно не всегда. Равенство нулю ковариации независимых случайных величин следует из теоремы о математическом ожидании произведения независимых случайных величин

часто силу зависимости между случайными величинами характеризуют безразмерным коэффициентом

[1] Математическое ожидание называют еще средним значением, а также центром распределения.

[2] Для математического ожидания употребляются и другие обозначения:

[3] Две случайные величины являются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая случайная величина.

[4] Дисперсию обозначают еще  (читается “сигма квадрат”).

[5] Ляпунов Александр Михайлович (1857–1918) ― русский математик и механик.

[6] Гаусс Карл Фридрих (Gauss C. F., 1777–1855) ― немецкий математик.