Нормальный закон распределения непрерывной СВ. Вероятность попадания значений нормальной случайной величины в заданный полуинтервал.

Нормальное распределение.Фундаментальное значение в теории вероятностей имеет нормальное распределение. С ним приходится сталкиваться при анализе ошибок различных измерений, отклонений в размерах от типичных у каких-либо объектов, животных, растений и т.д. Широкое распространение нормального распределения объясняет центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова[5]). Одна из простейших форм этой теоремы утверждает: если — независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием  и дисперсией  то при неограниченном увеличении  закон распределения суммы  неограниченно приближается к нормальному. Главная особенность нормального распределения состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.Говорят, что непрерывная случайная величина  распределена понормальному закону, если ее функция плотности вероятностей имеет вид:  (20)  где а и  — параметры распределения, причем  График функции (20) называют кривой нормального распределения или кривой Гаусса[6].Исследование функции (20) показывает, что эта функция определена и положительна на всей числовой прямой. Функция  при  то есть ось  является горизонтальной асимптотой. Функция  в точке  достигает максимума, равного  Кривая нормального распределения симметрична относительно прямой  и имеет перегиб в точках, абсциссы которых равны  и а ординаты —  При изменении параметра  и постоянном  форма кривой не меняется, при этом кривая перемещается вдоль оси  (с увеличением параметра  график сдвигается вправо, а при умень уменьшении  — влево: рис. 11а), а при изменении параметра  меняется форма нормальной кривой (с уменьшением  кривая становиться все более островершинной: рис. 11б).Площадь, заключенная под кривой нормального распределения, всегда равна единице.Функция распределения случайной величины  распределенной по нормальному закону, имеет вид  Последний интеграл нельзя вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. Однако функцию  можно выразить через табулированную функцию Лапласа  

если воспользоваться подстановкой  В результате получим:                                 (21)Из равенств (13) и (21) легко получить формулу для нахождения вероятности попадания значений нормальной случайной величины  в полуинтервал     (22)

В частности, вероятность  того, что отклонение случайной величины  от ее математического ожидания а по абсолютной величине будет меньше заданного положительного числа , равна                                    (23)Если в равенстве (23) положить , то получим  то есть нормально распределенная случайная величина  отклоняется от своего математического ожидания  как правило, менее чем на  В этом и состоит так называемое правило трех сигм, которым часто пользуются в математической статистике.