Центральна гранична теорема.

Для послідовності випадкових величин  розглянемо:

Теорема. Якщо випадкові величини в послідовності незалежні, однаково розподілені і для них існують моменти другого порядку, то

тобто граничним розподілом для  є нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Теорема Ляпунова. Якщо для незалежних випадкових величин, які утворюють послідовність  , існують моменти третього порядку і виконується умова

 то для  виконується співвідношен-
ня (2).

Наслідком розглянутих теорем є інтегральна теорема Лапласа.

У схемі незалежних повторних випробувань

де  Це випливає з того, що частоту події можна подати як суму n випадкових величин — частот настання події в окремих випробуваннях. При достатньо великих значеннях n закон розподілу цієї суми близький до нормального.

Аналогічними міркуваннями для цієї схеми легко дістати формулу:

 де m — частота події А у n випробуваннях.

Генеральна та вибіркова сукупність. Співвідношення чисельних характеристик.

Генеральною сукупністю в математичній статистиці називається множина однотипних об’єктів, кількісна чи якісна ознака яких підлягає вивченню. Підмножина об’єктів, дібраних у відповідний спосіб із генеральної сукупності, називається вибірковою сукупністю. Вважаємо, що ознака, яка вивчається, є випадковою величиною Х із функцією розподілу  Результати вибірки розглядатимемо як послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин  Закон розподілу для всіх  визначається функцією  Результати вибірки — реалізації випадкових величин — позначатимемо відповідно через  Розмістивши ці числа в порядку зростання і записавши частоти  з якими зустрічаються ці значення, дістанемо варіаційний, або статистичний, ряд:

			…
Частоти			…

На підставі такого ряду можна побудувати статистичну функцію розподілу  Якщо , то статистична функція розподілу збігається д теоретичної функції розподілу.

Статистичний розподіл вибірки. Полігон, гістограмма, емпірична функція.

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна зобразити графічно у вигляді ламаної лінії, відрізки якої сполучають координати точок (x_i; n_i), або (x_i; W_i).

У першому випадку ламану лінію називають полігоном частот, у другому — полігоном відносних частот.

Гістограма частот та відносних частот.Гістограма частот являє собою фігуру, яка складається з прямокутників, кожний з яких має основу h і висотy .

Гістограма відносних частот є фігурою, що складається з прямокутників, кожний з яких має основу завдовжки h і висоту, що дорівнює .

Площа гістограми частот

Площа гістограми відносних частот .