Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини.

Нормальний закон розподілу задається щільністю  Параметри , які входять до виразу щільності розподілу, є відповідно математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням випадкової величини. Нормальний закон розподілу широко застосовується в математичній статистиці. Для обчислення ймовірності потрапляння випадкової величини, розподіленої нормально, на проміжок використовується функція Лапласа:

Часто застосовується також формула:

Ймовірність влучення нормально розподіленої величини в заданий інтервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

Р(а<Х<b) =

Доказательство. Р(а ≤Х<b) = F(b) — F(a).

По формуле Ньютона — Лейбница,

F(b) — F(a)= .

Таким образом,

Р(а Х<b) =

Так как Р(а ≤Х<b) = Р(а<Х<b),то окончательно получим

Р(а<Х<b) =

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f (х)и прямыми х =а и х=b.

Замечание. В частности, если f (х)— четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

Р(-а<Х<a) = Р(|Х|<a) =2

46. Ймовірність заданого відхилення. Правило 3ᵟ

Очевидно, события, состоящие в осуществлении неравенств | X — а|<и ||Х—а|≥, — противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства | X — а| <  равна р, то вероятность неравенства |Х—а|  равна 1—р.

Преобразуем формулу

Р (| X — а |< ) = 2Ф ( /)

положив  = t. В итоге получим

Р (| X — а |< t) = 2Ф (t).

Если t = 3 и, следовательно, t =3 то

Р (| X—а |< 3) = 2Ф (3) = 2 * 0,49865 = 0,9973,

т, е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Композиція неперервних випадкових величин. Стійкість розподілу

Розподіл Хи-квадрат.

Розглядаємо послідовність  попарно незалежних випадкових величин, які розподілені нормально з нульовими математичними сподіваннями і одиничними дисперсіями.

Якщо  то ця сума має розподіл  з  ступенями волі. Щільність розподілу  Числові характеристики розподілу:  До виразу щільності розподілу входить гамма-функція  

Графік щільності розподілу зображено на рис. 3.3.

Для розподілу  складено таблиці виду  для кількості ступенів волі від 1 до 30. У таблицях для заданих значень імовірностей (здебільшого  0,9; 0,8; 0,7; 0,5; 0,3; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01; 0,005; 0,002; 0,001) вказано значення  для відповідної кількості ступенів волі. Якщо кількість ступенів волі більша від 30, то розподіл мало відрізняється від нормального з відповідними математичним сподіванням і дисперсією.

M(X)=n. D(X)=2n.

Розподіл Ст’юдента .

Розподіл Стьюдента з n cтупенями волі має випадкова величина  де Х — нормально розподілена величина з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією, а . Випадкова величина  не залежить від Х і має розподіл з n ступенями волі. Щільність розподілу  Графік щільності розподілу Стьюдента за зовнішнім виглядом нагадує нормальні криві. Але вони значно повільніше спадають до осі t, якщо особливо за малих значень n

Складено таблиці розподілу Стьюдента, здебільшого виду  для кількості ступенів волі від 1 до 20. Якщо кількість ступенів волі більша, то можна застосовувати нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

M(Z)=0. .