Функція Гауса її властивості і використання в схемах Бернуллі.

У математиці функцією Гауса є функція, що виражається залежністю

Графік функції Гауса є характерною симетричною кривою у формі дзвону, що швидко спадає на нескінченності. Параметр a є висотою піку кривої, b є позицією центру, і c контролює ширину «дзвону».

Визначений інтеграл від ґаусової функції дає функцію помилок

Визначений інтеграл з нескінченними границями має властивість

Цей інтеграл рівний 1 тоді і тільки тоді, коли a = 1/(c√(2π)), і в цьому випадку Гаусіан є щільністю нормального розподілу випадкової величини з математичним очікуванням μ=b ідисперсією σ²=c².

При перетворенні Фур'є функції Гауса з параметрами a, b=0 і c отримуємо іншу функцію Гауса, з параметрами ac, b=0 і 1/c. Отже, як частковий випадок, функція Гауса з b=0 і c=1 єінваріантом щодо перетворення Фур'є (вони є власними функціями перетворення Фур'є з власним значенням 1).

Функція Лапласа, її властивості і використання в схемі Бернуллі.

Випадкові величини, види та способи їх опису.

Випадковою величиною назв змінна величина, яка в результаті досвіду може приймати те чи інше числове значення.

Випадкові величини бувають виду: дискретні та неперервні.

Випадкова величина назв дискретною (перериваною), якщо множина чисел х1,х2…хn, таких що P(X=Xi)=pi≥0; i=1,n і

Випадкова величина неперервна, якщо функція розподілу її неперервна, а похідна функції розподілу неперервна в всіх точках, за виключенням кінцевого числа на будь-якому інтервалі.

Функція розподілу ймовірностей для дискретної випадкової величини, її властивості.

Закон розподілу ймовірностей можна подати ще в одній формі, яка придатна і для дискретний, і для неперервних випадкових величин, асаме: як функцію розподілу ймовірностей випадкової величини F(x), так звану функцію розподілу. Функцію аргументу x, що визначає ймовірність випадкової події X<x,називають функцією розподілу ймовірностей:

F(x)=P(X<x)

Цю функцію можна розглядати як: "у наслідок експерименту випадкова величина може набувати значення, меншого за x"

Властивості функції розподілу:

· 0 ≤ F(x) ≤ 1

· F(x) є неспадною функцією, тобто: F(x₂) ≤ F(x₁), якщо x₂ > x₁

· P(X=x_i)=0 Якщо випадкова величина Х є неперервною, то ймовірність того, що вона набуде конкретного можливого значення завжди дорівнює нулю.

· lim F(x), при x->- = lim P(X<x), при x->- -> F( ) = F(X < - )=0

· lim F(x), при x-> = lim P(X<x), при x-> -> F( ) = F(X < )=1

Функція розподілу ймовірностей для неперервної випадкової величини, її властивості

Если функция распределения дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины , которая связана с функцией распределения формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

Вероятность того, что значение случайной величины попадает в интервал вычисляется для непрерывной случайной величины по формулам:

или .