Визначення ймовірності за аксіоматичним підходом.

Поняття про випадкові подій; неможливі; вірогідні; сумісні; несумісні подій.

Результат, результат випробування називаються подією.
Подіями є: випадання герба або цифри, взяття білого або чорного кулі, поява того чи іншого числа очок на кинутої гральної кістки. Для позначення подій використовуються великі літери латинського алфавіту: А, В, С і т. д.
Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншого в одному і тому ж випробуванні.
Приклад 1. Випробування: одноразове кидання гральної кістки. Подія А - поява чотирьох очок. Подія В - поява парного числа очок. Події А і B - сумісні.
Дві події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншого в одному і тому ж випробуванні.
Приклад 2. Випробування: одноразове кидання гральної кістки. Нехай події - відповідно випадання одного очка, двох, трьох, чотирьох, п'яти, шести. Ці події є несумісними.
Дві події А і називаються протилежними, якщо в даному випробуванні вони несумісні і одне з них обов'язково відбувається.
Приклад 3. Випробування: кидання монети. Подія А - випадання герба, подія - випадання цифри.
Подія називається достовірним, якщо в даному випробуванні воно є єдино можливим його результатом, і неможливим, якщо в даному випробуванні воно явно не може відбутися.
Приклад 4. Випробування: вилучення кулі з урни, в якій всі кулі білі. Подія А - виймуть біла куля - достовірне; подія В - виймуть чорна куля - неможливе.
Подія А називається випадковим, якщо воно об'єктивно може наступити або не наступити в даному випробуванні.
Приклад 5. Подія - випадання шести очок при киданні гральної кістки - випадкове.Воно може і не настати в даному випробуванні.

Класичне визначення ймовірності, її властивості. Частість її визначення та відміна від ймовірності.

Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій W: P(A)= m /n. З визначення ймовірності випливають такі її властивості: Властивість 1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.В цьому випадку m = n, отже,
Р(A)= m / n = n / n = 1.
Властивість 2. Ймовірність неможливого події дорівнює нулю. Дійсно, якщо подія неможливо, то жоден з елементарних результатіввипробування не сприяє події. В цьому випадку m = 0, отже,
Р(А) = m / n = 0 / n = 0.

Властивість 3. Імовірність випадкової події є позитивне число, укладену між нулем і одиницею. В цьому випадку 0 <m <n, значить, 0 <m / n <1, отже, 0 <Р(А) <1.
Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійному нерівності

0 <= Р (A) <1.

Частота випадкової події.Нехай W - простір елементарних подій. Розглянемо деякий стохастичний експеримент і подію А, яка спостерігається в цьому експерименті. Повторимо експеримент n раз. Позначимо через K_n(А) - число експериментів, в яких відбулася подія А . Частотою подій А називається відношення

.Частота може бути обчислена лише після того, як проведена серія експериментів, і, взагалі кажучи, частота змінюється, при переході від однієї до інщої серії з n експериментів, або з зміною n. Але, як показує досвід, при достатньо великих n для більшості таких серій експериментів частота зберігає майже постійну величину, причому великі відхилення спостерігаються тим рідше, чим більше n.

Геометричне визначення ймовірності.

Геометричне означення ймовірності. Якщо простір елементарних подій W можна подати у вигляді деякого геометричного предмета, а множину елементарних подій для подій А – як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин P(A)=m(A)/m(W).При цьому вважається, що попадання в деяку частину геометричного образу пропорційна до міри цієї його частини.

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n. Знаходження статистичної ймовірності пов’язане з проведенням n випробувань, тому вона називається ще частістю, або відносною частотою, події.

Визначення ймовірності за аксіоматичним підходом.

Ймові́рність — числова характеристика можливості того, що випадкова подія відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів.

Аксіоматичний підхід, строго сформульований Колмогоровим, будується на припущенні, що імовірності елементарних випадкових подій задані, і зосереджується на визначенні ймовірностей складних подій, що є сукупністю елементарних. Так, наприклад, при підкидуванні шестигранного кубика гральної кості, ймовірності випадіння будь-якого числа, вважаються однаковими й рівними 1/6. Виходячи з цієї аксіоми, теорія ймовірності може розрахувати ймовірність того, що сума чисел на двох костях буде, наприклад, 8. Аксіоми:
1) 0≤P(A)≤1; 2) P(A)=1, если А - достоверное событие;

3) , если А и В несовместны.