Прості та складні випадкові подій. Простір елементарних подій. Математичні операції над подіями.

Використання елементів комбінаторики у теорії ймовірності.

Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!

Розміщенням із n елементів по m

(0≤m≤n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: = n! /(n-m)!

Комбінаціямиз n елементів по m

(0≤ m≤n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: = n! / m!(n-m)!

Теореми додавання ймовірностей.

Теорема 1. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Р( А È В ) = Р ( А ) + Р ( В ).

Наслідок.Ймовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р( А₁ È А₂ È …È А_n  ) = P(A₁ + A₂+…+ A_n ).

Теорема 2. Нехай А та В - випадкові події. Тоді ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих двох подій без ймовірності їх сумісної появи:

R(AÈB) = R(A) + R(B) - R(AÇB)

Теорема може бути узагальнена на довільне число сумісних подій.

Теорема 3.Нехай А₁, А₂, …,А_n - випадкові події. Тоді

І теорема множення ймовірностей.

Теорема множення ймовірностей незалежних подій.Імовірність одночасного настання двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

                                                                                                                                              (1)

Імовірність появи деяких подій, незалежних у сукупності, обчислюється за формулою:

                                                                                                                    (2)

Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність.

Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними.

Імовірність події A, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається P(A/B). P(A/B)= P(A B) / P(B), P(B) 0. Властивості умовної ймовірності:

1. P(A/B)=0, якщо =

2. P(A/B)=1, якщо =B

3. у решті випадків 0<P(A/B)<1.

                                                                                                                                                                                                               (3)

ІІ теорема множення ймовірностей.

Теорема множення ймовірностей залежних подій. Імовірність одночасного настання двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності настання однієї з них на умовну ймовірність другої:

Ймовірність появи хоча б раз при n незалежних спробах.

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Формула застосовується, якщо

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від mi до mj раз, обчислюється так:

Теорема Байеса (гіпотеза)

Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій  Відомі ймовірності подій  та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез  Для цього застосовують формулу Баєса: