Угол между прямой и плоскостью

 Определение: Если прямая АВ пересекает плоскость и не перпендикулярна , то угломмежду прямой АВ и плоскостью  называется угол между прямой АВ и её проекцией на плоскость .

                               АВ  =0, АВ

                                                                          Где =

Алгоритм векторно-координатного метода:

1).Используя особенности заданной фигуры ввести в пространстве прямоугольную систему координат

2).Ввести направляющий вектор прямой  и найти его координаты

3).Ввести нормальный вектор плоскости  и найти его координаты

4).Найти

1 случай:

Объединив результаты и учтя, что

Определение: Ненулевой вектор коллинеарный прямой АВ называется направляющим вектором прямой АВ.

Определение: Ненулевой вектор называется нормальным вектором плоскости, если вектор перпендикулярен к данной плоскости

,

, так как

и , то

Уравнение плоскости, проходящей через точку с координатами , с заданным нормальным вектором

Уравнение плоскости, нормальный вектор которой

Замечание: Если координаты нормального вектора  найти трудно в задаче, то можно поступить следующим образом:

Алгоритм нахождения координат вектора  :

1. Предположим  , а  или  ,

 или  ,

 и  должны лежать на пересекающихся прямых.

2. Так как  ,  , то есть

3. Найти одно из решений данной системы, то есть найти одну из троек чисел, удовлетворяющих данной системе.

Задача 2.

В прямоугольном параллелепипеде АВСD  точки Е и F середины рёбер  и  соответственно. Ребра АВ и  равны 4. Ребро ВС равно 6. Найти тангенс угла между прямой ЕF и плоскостью основания.

                                                           прямоугольный параллелепипед                                

                                                           АВ = 4, = 4

                                                           ВС = 6   

                                                           Е – середина

                                                        F – середина

                                                           Найти:

Решение:

1) Введём прямоугольную систему координат, как показано на рисунке

2) Найдём координаты нужных точек:

B(0;0;0)

(0;0;4)

E (4;0;2)

F(2;6;4)

3) Введём направляющий вектор прямой ЕF и найдём его координаты:

(-2;6;2)

4) Введём нормальный вектор плоскости (ABC) и надём его координаты:

(0;0;4)

5) Воспользуемся формулой нахождения синуса угла между прямой и плоскостью

6) Так как  – острый, то

7) Таким образом,

Ответ:

Угол между плоскостями

Определение: углом между пересекающимися плоскостями называется угол, не превосходящий остальных трёх, который образуется при пересечении плоскостей.

Пусть  и  - данные плоскости, пересекающиеся по прямой АВ. Через некоторую точку Fпрямой АВ проведём в плоскости  прямую FC⊥AB , а в плоскости  - прямую FD⊥AB.Угол  между прямыми FC и FD - угол между плоскостями  и . ,

,  - как углы с попарноперпендикулярными сторонами. (1) (2) Объединив результаты, получаем:   Формула нахождения угла между плоскостями

Алгоритм векторно-координатного метода:

1). Ввести прямоугольную систему координат

2.) Ввести нормальные векторы  заданных плоскостей  и найти их координаты.

3.) Вычислить косинус угла между векторами

4.) Найти по формуле

Задача 3.

В прямоугольном параллелепипеде АВСD  ребра АВ и BC равны 6. Ребро  равно 4. Найти тангенс угла между плоскостями ( ) и .

Дано:  –

       прямоугольный параллелепипед

АВ = 6

                                                            ВС = 6   

= 4                                                                

                                                            Найти:

Решение:

1) Введём прямоугольную систему координат, как показано на рисунке

2) Найдём координаты нужных точек:

В(0;0;0)

(0;0;4)

A(6;0;0)

(6;6;4)

C(0;6;0)

3) Введём нормальный вектор плоскости  и надём его координаты:

(0;0;4)

Введём нормальный вектор плоскости  –

(0;6;4)

 (-6;6;0), то , , т.е.

(1)

Найдём одно из решений системы (1)

Если

4) Для нахождения косинуса угла между прямыми воспользуемся формулой:  

Так как  – острый, то

Ответ:

Угол между скрещивающимися прямыми

b

a

Определение:Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися, параллельными им прямыми, не превосходящий остальных трёх.

 

 

                                                                                            

                                                                                             AOB

 

 

                                                                                                

Алгоритм векторно-координатного метода:

1). Введём прямоугольную систему координат и единицу измерения

2). Найдём координаты нужных точек

3).Найдём координаты направляющих векторов скрещивающихся прямых

4). Найдём угол между векторами

Задача.

В кубе АВСD  точки E и F середины рёбер соответственно и . Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВF