Функциональный подход в поиске решений задач:четность

Понятие четности возникает при рассмотрении самых различных математических задач. Если элементы произвольного множества могут быть условно разделены на две примерно равные группы с диаметрально противоположными свойствами, то речь идет о четности.

Замечание. Четность суммы нескольких чисел зависит от четности числа нечетных слагаемых: если количество нечетных слагаемых не(четно), то и сумма - (не)четна.

Основная теорема арифметики: Всякое натуральное число можно записать в виде произведения чисел (разложить на простые множители), причем это разложение единственно с точностью до перестановки множителей.

Сделаем важные наблюдения. Пусть

 – разложение числа n на простые множители, тогда

.

 содержит удвоенный набор множителей числа . Можно с уверенностью утверждать, что если  делится на 3, то  делится на 9. Но куда важнее вывод о том, что если  делится на 3, то делится на 3. И вообще, если  делится на некоторое простое число , то и  делится на . Кстати, если  делится на 9, то с уверенностью можно лишь утверждать, что  делится на 3. А вот если  длится на 27, то можно утверждать, что  делится на 9.

Олимпиадные задачи.Виды олимпиадных задач, методы их решения.

Типы задач

Несмотря на уникальность олимпиадных задач, можно всё-таки выделить несколько типичных идей, составляющих суть задач. Разумеется, по определению, такой список будет неполным.

Задачи на инвариант

Игра

Комбинаторика

Теория графов

Неравенства

Геометрия

Не существует единого метода решения олимпиадных задач. Напротив, количество методов постоянно пополняется. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях. Ниже приводится (по определению) неполный список методов решения олимпиадных задач:

Доказательство от противного

Принцип Дирихле

Решение методами другой науки (замена алгебраической задачи геометрической или физической и наоборот)

Правило крайнего

Решение с конца

Поиск инварианта

Построение контрпримера

Математическая индукция

Рекурсия

Метод итераций

Подсчёт двумя способами

Метод аналогий

Провокационный метод

Вспомогательное построение

Переход в пространство большего числа измерений

Вспомогательная раскраска