V. Заключительные рекомендации

1. Прежде чем приступить к решению задачи с параметрами, советуем разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра a=5 и ответьте на вопрос: является ли данное значение a=5 искомым для задачи 4? Неудачная попытка получения ответа на поставленный вопрос, к сожалению, означает вашу принципиальную неготовность решить задачу в общем виде. В этом случае необходимо срочно принять меры к овладению основными темами школьного курса математики. Заметим, что подстановка фиксированного значения параметра позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи.

23-24.Применение векторов к решению аффинных задач в пространстве.(метрических)

Задачи, решаемые векторным методом, можно разделить на два вида:

• аффинные
• метрические.

Поскольку скалярное произведение векторов вводится в 8 классе, то в неполной средней школе рассматриваются лишь аффинные. Задачи, связанные с аффинными преобразованиями плоскости, называются аффинными.

При аффинных преобразованиях плоскости прямые переходят в прямые, точки в точки, параллельные прямые переходят в параллельные прямые, сохраняется инцендентность точек и прямых, сохраняется простое отношение трех точек где – точки прямой и точка C лежит между A и B или на продолжении Кроме того, при аффинных преобразованиях сохраняется отношение площадей фигур, но не сохраняется расстояние двумя точками и и им соответствующими точками и , то есть

Учащиеся испытывают большие затруднения при выборе метода, с помощью которого они будут решать ту или иную задачу. Эти затруднения вызваны прежде всего тем, что в методической литературе и в учебных пособиях недостаточно раскрыта математическая сторона применения векторов к решению геометрических задач, не устанавливаются, хотя бы ориентировочно, основные задачи (теоремы), которые широко используются при решении более сложных задач.

Рассмотрим задачи трех типов, которые целесообразно решать с помощью векторов.

Первый тип: задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков.

Второй тип: задачи, в которых доказывается, что некоторая точка делит отрезок в заданном отношении.

Третий тип: задачи на доказательство принадлежности трех и более точек одной прямой.

Выделение таких типов полезно по следующим соображениям:

Эти виды наиболее многочисленны и, в силу простого перевода на векторный язык, могут служить образцами для учащихся.

Навык, приобретенный при решении этих задач, можно переносить на более сложные (где данные задачи могут встречаться в виде части задач).

Указанные выше типы задач охватывают довольно большую часть тех задач, которые приходиться решать учащимся. В задачах такого рода традиционные методы решения связаны обычно со значительными трудностями: или с необходимостью тонких дополнительных геометрических построений, или с довольно громоздкими тригонометрическими преобразованиями.

Решение геометрических задач векторным методом позволяет отработать у учащихся навыки перевода условия с геометрического языка на векторный и формировать навыки, необходимые для перевода с векторного языка на геометрический.

Формирование векторного метода решения геометрических задач должно начинаться еще в восьмом классе. Для решения задач учащиеся должны владеть следующими умениями, которые и являются компонентами векторного метода:

1. Переводить геометрический язык на векторный и наоборот;
2. Выполнять операции над векторами, уметь преобразовывать векторные выражения;
3. Знать наиболее важные векторные соотношения и их особенности;
4. Уметь выразить один вектор через некоторые другие;
5. Переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот.

Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке.