Логические задачи,решаемые с помощью составления таблиц истинности.

Таблица истинности - это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний. Таблица истинности логического выражения - это таблица, содержащая значения логического выражения, полученные на всех значениях, входящих в него логических переменных.

Правила для построения таблиц истинности:

Необходимо определить количество строк в таблице истинности.

К=2n, где n-количество переменных; К-количество строк.

Определить количество столбцов (количество переменных + количество логических операций).

Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.

Заполнить столбцы логических переменных наборами значений.

Заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.

Задачи-игры

Игра — тип олимпиадных задач по математике, в которых требуется проанализировать стратегию игры и/или назвать победителя этой игры. Обычно заканчивается традиционным вопросом: «кто выиграет при правильной игре?» Как правило, в задачах этого типа игры:

1. детерминированы

2. финитны

3. с полной информацией

4. включают ровно двух участников

5. с невозможной (по правилам) ничьей

Отклонения от указанных характеристик единичны. Часть задач состоит как раз в доказательстве этих характеристик. Указанные задачи, как правило, не предполагают знания теории игр. Тем не менее, отдельные положения теории игр — интуитивно очевидные — могут использоваться. 

Игровые олимпиадные задачи решаются при помощи следующих разделов математики:

· Комбинаторика

· Целые числа

· Графы и раскраски

· Диофантовые уравнения

· Динамизация

· Принцип Дирихле

На предыдущих лекциях с теорией по этим дисциплинам мы познакомились. Поэтому с теоретическим материалом проблем у нас не возникнет. Перейдем непосредственно к задачам.

Игровые задачи можно разделить на несколько видов. Первый вид – это шахматные задачи. К ним относятся задачи, в условиях которых присутствуют непосредственные действия с шахматными фигурами или шахматной доской. Для решения таких задач необходимо иметь хотя бы базовые знания о том, как ходят шахматные фигуры, иметь развитое логическое мышление. Рассмотрим такие задачи. 

22.

Первоначальные сведения

I. Что такое параметр?

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Комментарий. Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|=a–1 не следует неотрицательность значений выражения a–1, и если a–1<0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.

II. Что означает «решить задачу с параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.

III. Какие основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.