Динамизация геометрических объектов в системе функционального подхода в школьном курсе математики

Под динамизацией мы понимаем процесс исследования и открытия свойств геометрических объектов с помощью изменения определяющих их параметров.

Динамизация геометрических объектов в школьном курсе математики ставит одной из своих задач развитие функционального мышления учащихся посредством дополнения традиционных задач задачами динамического характера, а также внесение динамики в теоретический материал и в практику решения задач. Однако даже сравнительно поверхностный анализ геометрического задачного материала говорит о том, что задач с явно выраженной динамичностью в школьных учебных пособиях недостаточно.

В качестве систематического изучения геометрии на основе динамизации геометрических объектов можно использовать динамические математические игры, позволяющие ввести понятия о геометрических объектах и рассматривать их свойства.

Например, понятие о серединном перпендикуляре к отрезку дается через игровую ситуацию: заяц может появиться из любой из двух дверей (концы отрезка), волк приближается издалека. По какому направлению следует двигаться волку, чтобы быть в одинаковом положении по отношению к дверям?

Выявлены возможности динамизации для изложения теоретического материала по геометрии на основе эмпирического подхода к формированию знаний учащихся.

Например, задача поиска всех точек, лежащих на прямой, приводит к выводу о необходимости отождествления прямой с множеством ее точек.

Введение понятия отрезка можно осуществить следующим образом.

Рассмотрим точку на прямой. Будем осуществлять непрерывное движение точки до некоторой ее остановки по прямой. Тогда часть прямой, пройденная этой точкой, дает представление об отрезке.

Такой подход с использованием моделей делает доступным введение этих понятий для учащихся даже начальной школы.

Представление о полуплоскости, угле, окружности, дуге также дается через движение точек на плоскости (через динамику).

Все движения следует мыслить непрерывными с отдельными остановками для исследования и иллюстрации.

В процессе движения вводится операция (*). Эта операция означает остановку в процессе непрерывного преобразования, но не любую, а такую, при которой возникает некоторая особенность, отличающая заданное состояние от всех ближайших. Так, вращая луч вокруг вершины угла, мы вынуждены будем остановиться в положении биссектрисы, перемещая точку по отрезку остановиться в его середине, вращая одну из сторон угла вокруг его вершины остановиться в положении прямого и развернутого угла.

Проводя экспериментальную работу на двух пересекающихся прямых, можно ввести определение смежных и вертикальных углов, наблюдая как при изменении одного из углов изменяется другой, пронаблюдать их равенство, ввести понятие прямого, острого, тупого углов.

Существенным моментом становления исследовательско-поискового стиля мышления учащихся посредством динамизации является перенос статического образа в динамический.

Как показать, что доказательство теоремы или решение задачи производится на бесчисленном множестве чертежей, хотя перед глазами — один, два, три типичных их представителя? Можно выполнить серию чертежей с измененными данными. Однако центральным пунктом доказательства для учащихся останется статичный чертеж. Кроме того, введение серии чертежей или иллюстрация моделей носят хотя и важный, но все-таки второстепенный характер по отношению к сущности доказательства. Понятно, что такие иллюстрации не смогут стать неотъемлемой частью любого доказательства но, с другой стороны, мышление подвижными образами как раз должно стать неотъемлемой частью любого доказательства и решения задачи.

Доказательство на статичном чертеже можно представить как воображаемое доказательство на динамичном. Целесообразно формировать у учащихся умения работать с динамическим чертежом. На таких чертежах можно решать ряд других задач. Например, рассмотрение частных и вырожденных случаев.

Если взять теорему о вписанном угле, когда его сторона проходит через центр круга, то в какой-то момент доказательства можно нарушить (изменить) само условие теоремы и получить иной от ожидаемого результат. Так, можно "увести" вершину угла за пределы окружности. Остановившись, ученик должен объяснить причины происшедших изменений. Варьируя таким образом всевозможные нарушения, можно раскрыть перед учениками не только взаимозависимости, но и способы их поиска, а значит и методологию решения нестандартных задач.

Некоторые способы задания процесса при решении целевых динамических и нединамических задач

Длительное и постоянное оперирование подвижными моделями, вибрирующими чертежами приводит к тому, что вырабатывается динамический стереотип переноса статического образа в динамический. При этом формируется ориентировочная основа, состоящая в поиске констант доказательства (сущности), зависимостей между ними, переменных доказательства, их несущественность, случайность.

Рассмотрим некоторые способы задания процесса динамизации при решении целевых динамических задач. Всякий процесс изменения характеризуется постоянными и переменными объектами. Постоянные и переменные объекты могут быть как геометрическими фигурами, так и числовыми параметрами.

Например, закрепив основание треугольника (основание как постоянный объект), в качестве пере­менных объектов можно считать точку (вершину фигуры) и площадь (параметр).

Разбивая переменные на независимые и зависимые» соответственно вводим область определения и область изменения.

Так, в примере с треугольником, приняв за независимую переменную площадь, а за область определения некоторое число, можно поставить вопрос о нахождении множества значений геометрического места вершин треугольников. Искомое геометрическое место точек есть прямая параллельная основанию треугольника.

Указанные способы процесса динамизации определяют следующие типы динамических задач?

1. Установление области определения.

2. Установление области изменения при заданной области определения.

Например: Найти геометрическое место центров вписанных окружностей (область значений) при заданном перемещении вершин треугольника (область определения). Найти множество значений, которые принимает площадь треугольника при том же движении.

3. Установление способа движения по множеству значений, при указанном способе движения по области определения.