Тема 6. Разработка управленческих решений в условиях конфликта и коллективом экспертов

Цели и задачи:

Цель изученияданной темы – получение общетеоретических знаний о теории игр и методе экспертных оценок.

Задачи изученияданной темы:

· изучение классификации игр;

· изучение особенностей решения матричных игр в чистых стратегиях;

· изучение смешанных стратегий в матричных играх;

· изучение критериев принятия решений в статистических играх.

Вопросы темы:

1. Решение матричных игр в чистых стратегиях.

2. Смешанные стратегии в матричных играх.

3. Принятие решений в условиях неопределенности.

4. Метод экспертных оценок.

Вопрос 1. Решение матричных игр в чистых стратегиях.

Игра (в математике) – это идеализированная математическая модель коллективного поведения: несколько игроков влияют на исход игры, причем их интересы различны [доп. 3].

Регулярное действие, выполняемое игроком во время игры, называется ходом. Совокупность ходов игрока, совершаемых им для достижения цели игры, называется стратегией.

Классификация игр.

Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.

В зависимости от количества игроков различают игры двух и n игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трех и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения.

По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, игра называется бесконечной.

По характеру взаимодействия игры делятся на бескоалиционные, когда игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции, и коалиционные (кооперативные), когда игроки могут вступать в коалиции.

В кооперативных играх коалиции заранее определены.

По характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.

По виду функций выигрыша игры делятся на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые и др.

Матричнаяигра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задается выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).

Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение, и оно может быть легко найдено путем сведения игры к задаче линейного программирования.

Биматричнаяигра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2).

Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.

Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определенного числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.

Запись матричной игры в виде платежной матрицы.

В общем виде матричная игра может быть записана следующей платежной матрицей [1, 2, доп. 3] (рис. 7).

Рис. 7. Общий вид платежной матрицы матричной игры

где

A_i – названия стратегий игрока 1;

B_j – названия стратегий игрока 2;

a_ij – значения выигрышей игрока 1 при выборе им i-й стратегии, а игроком 2 – j-й стратегии.

Поскольку данная игра является игрой с нулевой суммой, значение выигрыша для игрока 2 является величиной, противоположенной по знаку значению выигрыша игрока 1.