Вопрос 2. Смешанные стратегии в матричных играх.

Понятие о матричных играх со смешанным расширением.

Исследование в матричных играх начинается с нахождения ее чистой цены. Если матричная игра имеет решение в чистых стратегиях, то нахождением чистой цены заканчивается исследование игры. Если же в игре нет решения в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии. Этот результат достигается путем применения чистых стратегий случайно, с определенной вероятностью.

Смешанной стратегией игрока называется полный набор чистых стратегий, примененных в соответствии с установленным распределением вероятностей. Матричная игра, решаемая с использованием смешанных стратегий, называется игрой со смешанным расширением.

Стратегии, примененные с вероятностью, отличной от нуля, называются активными стратегиями.

Доказано [1, 2, 4, доп. 3, 4, 7], что для всех игр со смешанным расширением существует оптимальная смешанная стратегия, значение выигрыша при выборе которой находится в интервале между нижней и верхней ценой игры:

При этом условии величина V называется ценой игры.

Кроме того, доказано, что если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры V независимо от того, каких стратегий придерживается другой игрок, если только он не выходит за пределы своих активных стратегий. Поэтому для достижения наибольшего гарантированного выигрыша второму игроку также необходимо придерживаться своей оптимальной смешанной стратегии.