Понятие о нижней и верхней цене игры. Решение игры в чистых стратегиях.

Каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш с учетом поведения противодействующего ему игрока. Поэтому для игрока 1 необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти максимум из этих значений, то есть определить величину

,

или найти минимальные значения по каждой из строк платежной матрицы, а затем определить максимальное из этих значений. Величина называется максимином матрицы, или нижней ценой игры.

Величина выигрыша игрока 1 равна, по определению матричной игры, величине проигрыша игрока 2. Поэтому для игрока 2 необходимо определить значение

,

или найти максимальные значения по каждому из столбцов платежной матрицы, а затем определить минимальное из этих значений. Величина называется минимаксом матрицы, или верхней ценой игры.

В случае если значения и не совпадают, при сохранении правил игры (коэффициентов ) в длительной перспективе выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым. Устойчивость он приобретает лишь при равенстве . В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях, а стратегии, в которых достигается – оптимальными чистыми стратегиями. Величина называется чистой ценой игры [доп. 4].

Например, в матрице (рис. 8) существует решение в чистых стратегиях. При этом для игрока 1 оптимальной чистой стратегией будет стратегия A1, а для игрока 2 – стратегия B4.

Рис. 8. Платежная матрица, в которой существует решение в чистых стратегиях

В матрице (рис. 9) решения в чистых стратегиях не существует, так как нижняя цена игры достигается в стратегии A1 и ее значение равно 2, в то время как верхняя цена игры достигается в стратегии B4 и ее значение равно 3.

Рис. 9. Платежная матрица, в которой не существует решения в чистых стратегиях

Уменьшение порядка платежной матрицы.

Порядок платежной матрицы (количество строк и столбцов) может быть уменьшен за счет исключения доминируемых и дублирующих стратегий.

Стратегия K* называется доминируемой стратегией K**, если при любом варианте поведения противодействующего игрока выполняется соотношение:

где

A_k* и A_k** – значения выигрышей при выборе игроком, соответственно, стратегий K* и K**.

В случае если выполняется соотношение

стратегия K* называется дублирующей по отношению к стратегии K**.

Например, в матрице (рис. 10) стратегия A1 является доминируемой по отношению к стратегии A2, стратегия B6 является доминируемой по отношению к стратегиям B3, B4 и B5, а стратегия B5 является дублирующей по отношению к стратегии B4. Данные стратегии не будут выбраны игроками, так как являются заведомо проигрышными и удаление этих стратегий из платежной матрицы не повлияет на определение нижней и верхней цены игры, описанной данной матрицей.

Рис. 10. Платежная матрица с доминируемыми и дублирующими стратегиями

Множество недоминируемых стратегий, полученных после уменьшения размерности платежной матрицы, называется еще множеством Парето (по имени итальянского экономиста Вильфредо Парето, занимавшегося исследованиями в данной области).