Основные формулы и примеры решения задач по теме «Процентные вычисления. Сложный процент»

3.1 Основные формулы финансовых операций сосложными процентами при постоянных: процентной ставке и временном интервале.

Инвестор размещает денежные средства PV в банке в начале некоторого года и получает доход в виде процентов по ставке r на протяжении t лет. Вклад сделан на условиях сложного процента, т.е. очередной годовой доход исчисляется с общей суммы включающей также и ранее начисленные проценты. В этом случае говорят, что происходит капитализация процентов. Следовательно, рост вклада на конец соответствующего года будет равен:

1 год: FV₁ = PV + PV ∙ r = PV ∙ ( 1 + r );

2 год: FV₂ = PV∙( 1 + r ) + PV ∙ ( 1 + r ) ∙ r = PV ∙ ( 1 + r ) ² ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t год: FV_t= PV ∙ ( 1 + r ) ^t-1 + PV ∙ ( 1 + r ) ^t-1 ∙ r = PV ∙ ( 1 + r ) ^t.

Очевидно, что доход вкладчика растет нелинейно из года в год.

Таким образом, в общем случае финансовой операции наращения по схеме сложного процента формула имеет вид

FV_t= PV ∙ (1 + r )^t = PV ∙ FM1( r, t ) ,                              (3.1) 

где t – срок инвестирования в годах;

r – годовая процентная ставка в долях единицы;

PV₀ – начальная сумма инвестирования;

FV_t– наращенная сумма по истечении t лет.

FM1( r, t ) = (1 + r ) ^t - мультиплицирующий множитель для которого составлены финансовые таблицы или множитель наращения;

На практике многие финансовые операции выполняются в рамках одного или t лет, при m-кратном начислении процентов в год. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по периодам на которые разбит срок финансовой операции и по ставке равной годовой ставке r деленной на число m периодов начислений

                                                         (3.2)

где FV - сумма, получаемая при начислении процента за t лет;

PV– первоначально инвестированная сумма;

t – количество лет начисления процента ;

r - годовая процентная ставка в долях единицы;

m – число начислений в течении года.

Пример.

Начальная сумма 80 000 руб. инвестируется на 3 года под сложные проценты по ставке 35% годовых. Найдите наращенную сумму по истечении 3 лет.

Решение.

FV= 80 000 ∙ (1 + 0,35) ³ = 80 000 ∙ FM1( 35% , 3) = 80 000 ∙ 2,46 = 196 830 руб.         

Пример.

Ссуда в 200 000 руб. дана на 1,5 года под ставку 40 % годовых с ежеквартальным начислением. Найти сумму конечного платежа.

Решение.

FV_1,5 = 200000 ( 1 + 0.4 / 4 ) ^{1,5 × 4} = 354312,20 руб.

3.2 Основные формулы финансовых операций со сложными процентами при переменных: процентной ставке и временном интервале.

В практике финансовых расчетов, приходится часто изменять ставку сложных процентов особенно при значительных сроках ссудо-заемных операций. Пусть в начальный момент времени t₀=0 инвестор вложил в некоторый банк сумму PV. За время инвестиционного периода (t₀,t), изменение годовой процентной ставки происходило m раз на следующих временных интервалах:

t₁, t₂, t₃, … ,t_m,

при чем на каждом интервале годовая процентная ставка оставалась постоянной и была равна соответственно:

r₁, r₂, r₃, … ,r_m

В этом случае рост вклада к концу соответствующего временного интервала будет равен:

……………………………………………………………………….

.

Или искомую формулу можно записать в виде

.                                 (3.3)

Пример.

На исходную сумму в 100000 руб. ежемесячно в течение квартала начисляются сложные проценты по ставке 10% в первый месяц, 11% во второй месяц и 12% в третий месяц. Найти наращенную сумму в конце квартала.

Решение.

FV_1/4 = 100000 (1+ 0,1) (1+0,11) (1+0,12) = 136752 руб.

Пример.

Банк предоставил кредит в размере 10 млн. руб. на 2 года. По условиям кредитного договора между банком и заемщиком устанавливается начисление сложных процентов при возврате кредита раз в полгода, при этом годовая процентная ставка меняется раз в полгода в следующей последовательности: 80%, 90%, 100% и 110% от ставки рефинансирования ЦБ. Найти сумму, которую получит банк по условиям кредитного договора, если ставки рефинансирования равна 10% и не меняется в течение действия кредитного договора.

Решение.

FV₂ = 10 (1+ 0,08/2) (1+0,09/2) (1+0,1/2) (1+0,11/2) = 12,03903млн. руб.