Дисконтирование по сложной учетной ставке.

Пусть некоторое долговое обязательство на сумму FV и сроком погашения через t лет учитывается раньше срока с дисконтом по сложной учетной ставке d.Если осуществить продажу за год до срока погашения, то начисляются проценты FV·d и продавец получит сумму

FV–FV·d = FV (1 – d).

Если осуществить продажу за два года до срока погашения, то начисляются проценты FV·d и продавец получит сумму

FV (1 – d ) - FV ( 1 – d ) ·d = FV ( 1 – d )²

Применяя метод математической индукции можно сказать, что при учете долгового обязательства за t лет до срока погашения продавец получит сумму

PV = FV (1 – d) ^t                                                                (3.17)

Здесь множитель (1 – d) ^t называется дисконтным множителем.

Можно сказать, что PV представляет собой текущую сумму (современную стоимость) будущего платежа FV.                   

Для определения стоимости долгового обязательства, учтенного за t лет при m-кратном дисконтировании в течение года из формулы (17) получим

                                                           (3.18)                                                    

Пример.

Долговое обязательство на выплату 20000 руб. со сроком погашения через 4 года учтено за 2 года до срока с дисконтом по сложной учетной ставке 8%. Найти величину дисконта.

Решение.

Из (17) следует

PV = 20000 ( 1 - 0.08)² = 16928 руб.

Тогда дисконт равен

D_d = FV-PV = 20000 - 16928 = 3072 руб.

Пример.

Долговое обязательство на выплату 20000 руб. со сроком погашения через 4 года учтено за 27 месяцев до срока с дисконтом по сложной учетной ставке 8%. Найти величину дисконта.

Решение.

Из (17), переводя срок учета в доли года, получим

PV = 20000 (1 - 0.08)^2+0,25 = 16579 руб.

Тогда дисконт равен

D_d = FV-PV = 20000 - 16579= 3421 руб.

Учет налогов при наращении по сложной процентной ставке.

Пусть на капитал PV начисляются m-раз в год сложные проценты по годовой ставке r в течение t лет, то сумма на конец инвестиционного периода FV будет:

где .

Если налог начисляется на все проценты один раз за весь период по ставке q, то сумма налога составит

После уплаты налога наращенная сумма составит:

                                                                   (3.19)

Пример.

На вклад 2 млн. руб. в течении 4-х лет начислялись каждые полгода сложные проценты по годовой номинальной ставке 12%. Определить наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 8%.

Решение.

По (3.19) рассчитаем наращенную сумму после уплаты налога на проценты

Учет инфляции при наращении по сложной процентной ставке.

Величина наращенной суммы за время tс учетом инфляции (индекс инфляции – I(t)p)и номинальной сложной процентной ставки rcm начислениями в годбудет рассчитываться по формуле:

, где .                             (3.20)

Следовательно, для ликвидации эрозии капитала, необходимо выполнение неравенства:

 или .

Процентную ставку, при которой имеет место строгое равенство, обозначим r_*и определим ее значение

или .             (3.21)

Ставка r при которой имеет место реальное накопление капитала (r>r_*) называется положительной процентной ставкой.

Если за время t наращения капитала известен годовойтемпинфляции h, то годовой индекс инфляции равен

а индекс инфляции за t лет будет   

то формула (3.21) примет вид:

            (3.22)                            

При m= 1, получим

Следовательно, реальное наращение капитала при заданном годовом темпе инфляции h за время t лет будет при ставке