Замена платежей и их консолидация.

На практике возникают ситуации изменения ранее заключенного финансового соглашения. При разрешении таких ситуаций пользуются принципом эквивалентности, устанавливающим неизменность финансовых отношений до и после изменения финансового соглашения.

Консолидация платежа при известном сроке t нового платежа.

Пусть платеж FV₁ со сроком t₁ надо заменить платежом со сроком t . Причем сроки имеют одну и туже точку отсчета времени и по платежам предусмотрена одна процентная ставка r. Обозначим новый платеж, как FV. Уравнение эквивалентности будет иметь вид

FV = FV₁ (1 + (t - t₁)·r), еслиt>t₁;

FV = FV₁,                      если t = t₁;                                    (2.21)

     FV₁                                                                                                                                

FV =          ,                   если t<t_1.

1 + (t₁ – t)·r

Вводя функцию sign приведенное выше уравнение можно записать в виде

FV = FV₁ (1 +│t - t₁│ r) ^{sign (t – t1)},                                                 (2.22)

где

              1, еслиt - t₁>0

Sign (t - t₁) =  0, еслиt - t₁ = 0

              -1, если t - t₁<0

Пример.

Платеж в 5000 руб. со сроком уплаты 4 месяца заменить платежом со сроком уплаты:

А) 3 месяца, Б) 6 месяцев. Простая годовая процентная ставка равна 10%.

Решение.

По формуле (2.22) рассчитаем сумму нового платежа:

А) │3/12 – 4/12│= │– 1/12│= 1/12, Sign (– 1/12) = -1 и

FV = 5 (1 + 1/12 ∙ 0,1)^-1 = 4959 руб.;       

Б) │6/12 – 4/12│= │2/12│= 1/6, Sign( 2/12) = 1 и

FV = 5 (1 + 1/6 ∙ 0,1)¹ = 5083 руб.

Консолидация платежа при известной сумме FVнового платежа.

Пусть платеж FV₁ со сроком t₁ надо заменить платежом FV . Причем сроки обмеряются от одного момента времени и по платежам предусмотрена одна процентная ставка r. Обозначим срок нового платежа - t.

А) Пусть FV>FV₁, тогда должно быть t>t₁ и из формулы (2.21) следует, что

FV = FV₁· (1 + (t - t₁) r), откуда

                                                             (2.23)

Б) Пусть FV<FV₁, тогда должно быть t<t₁ и из формулы (2.21) следует, что

     FV₁

FV =          ,    откуда

1 + (t₁ – t) r

                                                             (2.24)

Правая часть последнего равенства должна быть положительной или равной нулю, т.е. должно выполняться неравенство.

В) Пусть FV = FV₁, тогда из формулы (2.21) следует, что t = t₁

Пример.

Платеж в 100000 руб. со сроком уплаты 12 месяцев (1год) заменить платежом в 90000 руб. Найти срок нового платежа, если простая годовая процентная ставка равна 20%.

Решение.

Так как FV - FV₁ = 90000 – 100000 = -10000<0, то расчеты  нового срока платежа ведем по формуле (2.24).

1) Проверим условие на положительное значение нового срока t

2) Условие выполнено, следовательно, новый срок будет

.

Консолидация нескольких платежей при известном сроке t новым платежом.

Рассмотрим задачу замены m платежей FV₁, …,FV_m, выплачиваемых соответственно через время t₁, … , t_m, одним платежом FVс выплатой через время t при неизменной процентной ставке. Для к-ого платежа FV_kс выплатой через время t_kможно получить формулу замены платежом PVс выплатой через время t, которая примет вид (2.24). Суммируя эту формулу по всем платежам ( к = 1, … , m) , получим

                                    (2.25)  

Пример.

Клиент получил кредит в банке на сумму 30000 руб. под 12% годовых. По финансовому соглашению клиент обязан погасить кредит тремя платежами с процентами: 15000руб., 5000руб. и 10000руб. соответственно через 30,90 и 150 дней. Однако клиент и банк пришли к соглашению погашения кредита через 120 дней. Найти величину консолидированного платежа, если начисляются простые проценты по схеме «360/360».

Решение.   

1) Сроки в годах: t = 120/360=1/3, t₁ = 30/360=1/12, t₂ = 90/360=1/4, t₃ = 150/360=5/12.

Тогда параметры в формуле (2.25) следующие:

t - t₁ = 1/4, sign (1/4) = 1,

t – t₂ = 1/12,    sign (1/12) = 1,

t – t₃ = -1/12,sign (-1/12) = -1.

2) Платежи с процентами согласно первоначальному соглашению рассчитаем по формуле (2.2):

FV₁ = 15000· (1 + 0.12 ∙ 1/12) = 15150;

FV₂ = 5000· (1 + 0.12 ∙ 1/4) = 5150;

FV₃ = 1000· (1 + 0.12 ∙ 5/12) = 10500.

3) Консолидированный платеж определяем по (2.25)

FV = 1515· (1+ 0,12· 1/4) + 515 (1+ 0,12· 1/12 ) + 1050 (1+ 0,12· 1/12)^-1 = 3120 руб.