Эффективная годовая процентная ставка.

Финансовые соглашения предусматривают разные способы начисления процентов. При этом обычно оговаривается номинальная годовая процентная ставка. Но эта ставка не отражает эффективности сделки и не может быть использована для сопоставлений. Для обеспечения сравнительного анализа эффективности таких соглашений выбирается показатель универсальный для любой схемы начисления процентов, который называется – эффективная годовая процентная ставка (r_ef).

Пусть задан исходный капитал PV, годовая (номинальная) процентная ставка r и число начислений сложных процентов - m. Наращенный капитал при таких исходных данных обозначим FV. Требуется найти такую годовую ставку r_ef которая обеспечит такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов за базовый временной период.

Математически это приводит к уравнению

                                     (3.8)

Откуда следует

                                                               (3.9)

В финансовых соглашениях можно указывать эффективную и номинальную ставки, так как обе дают один и тот же результат наращения. В США применяют номинальную ставку, а в европейских странах применяют эффективную ставку и расчет ведут по формуле

                                                            (3.10)

где n-срок начисления процентов.

Из формулы (3.9) следует выражение для вычисления номинальной ставки rприизвестной эффективной ставки r_ef и числе m начислений процентов в год

                                                              (3.11)

Если две номинальные ставки определяют одну и туже эффективную ставку, то они называются эквивалентными.

Рассмотренный подход не единственный для определения эффективной ставки. Например, при изменении условий начисления процентов (целые года – сложный процент, внутригодовые начисления – простой процент), можно предложить схему определения r_efне использующую явным образом номинальную ставку. Если известен первоначальный капитал PV и наращенный капитал FV за время n.Тогда из уравнения (10), следует                                                                      

                                                                   (3.12)

Пример.

Предприниматель может получить ссуду а) либо на условиях ежемесячного начисления процентов из расчета 26% годовых, б) либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 27% годовых. Какой вариант более предпочтительнее.

Решение.

Воспользуемся формулой (3.9) и определим r_ef для вариантов а) и б):

a)

б)

Вариант б), для предпринимателя, более выгоден.

Пример.

Определить номинальную ставкуr, если эффективная ставка равна 18% и сложные проценты начисляются ежемесячно

Решение.

Из формулы (11) следует

Пример.

Каковы будут эквивалентные номинальные годовые процентные ставки с начислениями по полугодиям и ежеквартально, если r_ef = 20%.

Решение.

Из формулы (3.11) следует, что рассчитанные ниже номинальные ставки эквивалентны при r_ef = 20%:

3.5 Дисконтирование по сложной процентной ставке/

Необходимо оценить будущие поступления FVчерез t лет с позиции настоящего момента времени.

Базовая расчетная формула для этого анализа

или

                                  (3.13)

Здесь FV – доход, планируемый к получению через t лет; PV – текущая стоимость (приведенная стоимость); r – процентная ставка;

 - дисконтирующий (дисконтный) множитель, значения затабулированы.         

Формула (3.13) называется математическим дисконтированием. Разность между FV и PV называется дисконтом

                                      (3.14)

Очевидно, что значение дисконтного множителя уменьшается с ростом t и с ростом процентной ставки r. Следовательно, при такой динамике изменения t и r уменьшается и приведенная стоимость.

Если проценты начисляются m раз в год в течении t лет, то из формулы

следует

                                                                    (3.15)

Тогда выражение для дисконта будет иметь вид

                         (3.16)

Пример.

Инвестор хочет получить через 3 года на своем счете в банке сумму 500 000 руб. Банк начисляет 18 % годовых с реинвестированием. Какая сумма необходима инвестору сегодня для открытия счета.

Решение.

По формуле (3.13) определяем сумму для открытия счета инвестором

Пример.

Инвестор хочет получить через 2 года на своем счете в банке сумму 100 000 руб. Банк начисляет проценты из расчета 20 % годовых раз в квартал с реинвестированием. Какая сумма необходима инвестору сегодня для открытия счета.

Решение.

Из формулы (15), имеем