Основные формулы и примеры решения задач по теме «Процентные вычисления. Простой процент»

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Орловский филиал

Кафедра «Математика, информатика и общегуманитарные дисциплины»

Е.Т. Коковин

Математические методы финансовых расчетов

Методические указания

По выполнению контрольной работы

Для студентов,

обучающихся по направлению подготовки

38.04.02 «Менеджмент»

Магистерская программа:

Финансовый менеджмент и рынок капиталов

ОРЕЛ 2018

Методические указания обсуждены

 на заседании кафедры «Математика, информатика и общегуманитарные дисциплины»

(Протокол № 6 от 16 января 2018 г.)

Зав. кафедрой – кандидат физико-математических наук, доцент

Е.С. Филонова

Введение

   Дисциплина «Математические методы финансовых расчетов» является дисциплиной модуля инвариантных для направления подготовки дисциплин, отражающих специфику филиала, вариативной части ОП по направлению подготовки 38.04.02 «Менеджмент», магистерская программа: Финансовый менеджмент и рынок капиталов

   Цели дисциплины:

- развитие теоретико-практической базы и формирование уровня математической подготовки, необходимых для понимания основных идей применения финансовых расчетов в экономике, финансах и бизнесе;

- развитие математической базы и формирование уровня практической подготовки, необходимых для применения математических методов финансовых расчетов в финансовой деятельности и для решения задач финансового планирования.

Задача дисциплины:

- в результате изучения дисциплины «Математические методы финансовых расчетов» студенты должны владеть основными математическими понятиями дисциплины; уметь использовать методы финансовых расчетов для решения теоретических и прикладных задач экономики и финансов, уметь решать исследовательские задачи, иметь навыки работы со специальной математической литературой.

     В процессе изучения дисциплины «Математические методы финансовых расчетов» студенты, самостоятельно выполняют контрольную работу.

     Цели контрольной работы – усвоить теоретические основы дисциплины,выработать навыки в решении задач, соответствующих тематическому плану дисциплины, и овладеть методами финансовых расчетов для решения прикладных и исследовательских задач экономики и финансов.

Методические указания по выполнению и оформлению контрольной работы

Контрольная работа по дисциплине «Математические методы финансовых расчетов» состоит из шести заданий по различным темам курса.

В каждой задаче контрольной работы необходимо привести подробное решение и сделать обоснованные экономические выводы. Численное решение задач следует подкреплять использованием компьютерных технологий.

Решение заданий должно сопровождаться необходимыми комментариями, то есть все основные этапы решения задачи должны быть раскрыты и обоснованы соответствующими теоретическими положениями.

     Варианты заданий определяются по последней цифре номера личного дела (зачетной книжки) студента.

     Контрольная работа выполняется и защищается всроки, установленные учебным графиком.

     Титульный лист контрольной работы должен содержать все необходимые реквизиты:

- названия университета и филиала;

- название кафедры;

- направление подготовки;

- наименование учебной дисциплины;

- Ф.И.О. студента и номер его зачетной книжки;

- Ф.И.О. преподавателя;

- дата сдачи работы на проверку.

     Работа без указания номера зачетной книжки проверке не подлежит. При отсутствии Ф.И.О. преподавателя установленные сроки проверки работы могут быть нарушены.

     К собеседованию допускаются студенты, выполнившие правильно и в достаточном объеме все задания контрольной работы. Для получения зачета по результатам собеседования студент должен выполнить работу над ошибками в проверенной преподавателем контрольной работе, проработать теоретические основы методов решения задач и ответить на вопросы преподавателя.

Основные формулы и примеры решения задач по теме «Процентные вычисления. Простой процент»

2.1.Основные формулы финансовых операций с простыми процентами при постоянных: процентной ставке и временном интервале.

Простой процент - это начисление процентов по периодам на первоначально инвестированную сумму.

В общем случае финансовой операции наращения по схеме простого процента формула имеет вид

FV= PV (1 + r ∙ t),                                                             (2.1)

где t – срок инвестирования в годах;

r – годовая процентная ставка в долях единицы;

PV– начальная сумма инвестирования;

FV– наращенная сумма по истечении t лет.

Множитель (1 + r ∙ t ) в формуле (2.1) называется множителем наращения или коэффициентом наращения простых процентов.

На практике многие финансовые операции выполняются в рамках одного года и тогда формула для начисления простого процента в течение периода времени, которое меньше года будет иметь вид

     t

FV = PV( 1 + r·¾) ,                                                           (2.2) 

              T

где FV - сумма, получаемая при начислении процента за t дней;

PV– первоначально инвестированная сумма;

t – количество дней начисления процента в течение года;

r - годовая процентная ставка в долях единицы;

T – длительность года в днях.

Заметим, что простые проценты

пропорциональны сроку вклада и процентной ставке.

Формула (2.2 ) носит общий характер, поскольку под t можно понимать любой интервал времени: день, месяц, квартал, год и т.д.. При этом показатель Тдолжен принимать соответствующие значения: 365 или 360, 12, 4, 1 и т.д.

Определяя продолжительность ссудо-заемной операции, принято день выдачи ссуды и погашения ее считать одним днем. При подсчете числа дней t срока ссудо-заемной операции в настоящее время применяются три схемы:

а) Способ «365/365». Точный процент и точная продолжительность периода (число дней в году 365 или 366 и t точное). Это наиболее точная схема и применяется в банках Великобритании и США.

б) Способ «365/360». Обыкновенный процент и точная продолжительность периода (число дней в году, квартале и месяце определяется приближенно, соответственно: 360, 90, 30 и t -точное). Эта схема дает несколько больший результат и применяется в банках Франции и Бельгии.

в)Способ«360/360». Обыкновенный процент и приблизительная продолжительность периода (число дней в году, квартале и месяце определяется приближенно, соответственно: 360, 90, 30 и t – приблизительное, т.к. считается, что в месяце 30 дней). Это менее точная схема и применяет в банках Германии, Дании и Швеции.

В предлагаемых схемах при расчете точного числа дней t пользуются специальными таблицами (одна для обычного года, а другая для високосного), в которых все дни года последовательно пронумерованы. Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня.

В российской практике ссудо-заемных операций используются все три схемы.

Пример.

Инвестор размещает на счете в банке сумму 1000000 руб. под 20% годовых. Определить какую сумму получит вкладчик через 300 дней., используя в расчетах способ «360/360».

Решение.             

Согласно (2.1) имеем

FV= 1000000 ( 1 + 0.2·300/360) = 1666666,67 руб.                     

Пример.

Вкладчик размещает на счете в банке 75000 руб. Банк начисляет простые проценты раз в квартал по ставке 20% годовых. Найти процентный платеж и сумму, какую он получит через полтора года.

Решение.

Наращенную сумму рассчитаем по (2.2), а проценты по  выражению для I представленному выше:

I =75000 ·0.2∙ 6 / 4 = 22500руб.;

FV = 75000 (1+0.2∙ 6 / 4) = 97500руб.

Пример.

Вкладчик хочет разместить на счете в банке 75000 руб. БанкА начисляют простые проценты раз в месяц по ставке 20% годовых, а банк Б раз в полгода но поставке 25% годовых. Определить в каком из банков вкладчику необходимо разместить вклад, чтобы получить наибольший доход, если он намерен держать деньги в банке 2 года.

Решение.

Для анализа используем расчетную схему (2.2) для простых процентов:

PV_А = 75000 (1+0.2∙ 24 / 12) = 105000 руб.;

PV_Б = 75000 (1+0.25∙ 4 / 2) = 112500 руб.

Вкладчику необходимо разместить вклад в банке Б.

Пример.

Предоставлен кредит в размере 5 млн. руб. 25 января с погашением через 6 месяцев (25 июля ) под 40% годовых. Рассчитать различными способами сумму к погашению, если год не високосный.

Решение.

Возможные варианты возврата кредита:

А) Точный процент и точное число дней.

Точное число дней определяется по таблицам с номерами дней года ( t = 206 – 25 = 181 дн.)

FV₁₈₁ = 5·( 1 + 0,4 · 181/365 ) = 5,9918 млн. руб.      

Б) Обыкновенный процент и точное число дней.

FV₁₈₁ = 5·( 1 + 0,4· 181/360 ) = 6,0056 млн. руб.

В) Обыкновенный процент и приближенное число дней.

Приближенное число дней кредита равно: 5 дн. января (30 - 25) + 150 ( 30 дн. в 5 месяцах: февраль, март, апрель, май, июнь) + 25 дн. июля = 180 дн.  

FV₁₈₀ = 5 ·(1 + 0,4·180/360) = 6,0000 млн. руб.         

2.2 Основные формулы финансовых операций с простыми процентами при переменных: процентной ставке и временном интервале.

В практике финансовых расчетов, особенно при учете темпа инфляции, приходится часто изменять ставку простых процентов. Пусть в начальный момент времени инвестор вложил в некоторый банк сумму PV. За время инвестиционного периода t, изменение годовой процентной ставки происходило m раз на следующих временных интервалах имеющих размерность в долях года:

t₁, t₂,t₃, … , t_m,

причем на каждом интервале годовая процентная ставка оставалась постоянной и была равна соответственно:

r₁, r₂, r₃, … ,r_m

В этом случае наращенная сумма к концу инвестиционного периода будет

FV = PV+PVr₁t₁+PVr₂t₂ + … + PVr_mt_m=    (2.3)

Пример.

Вкладчик разместил вначале года 100000 руб. в банке. Договор предусматривает следующую схему начисления простых процентов: 1 год – 20%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 10%. Найти величину вклада через 2 года, если проценты начисляются по схеме простых процентов.

Решение.

Применяя формулу (2.3), сумма вклада будет

FV₂ = 100 000 (1 + 0,2·1+0,3· 0,5 + 0,4· 0,5) = 155 000 руб.

Пример.

Вкладчик разместил вначале года 50000 руб. в банке. Ставка рефинансирования ЦБ на момент заключения договора равна 30% годовых. Договор предусматривает следующую схему начисления простых процентов: 1 квартал – 50% от ставки рефинансирования ЦБ, в каждом последующем квартале ставка понижается на 10% от ставки рефинансирования ЦБ. Найти величину вклада через 1 год, если проценты начисляются по схеме простых процентов.

Решение.

Определяя квартальные процентные ставки и применяя (2.3), рассчитаем величину вклада через год

FV₁ = 50000 + 50000·0,15·0,25 + 50000· 0,12· 0,25 + 50000·0,09·0,25 +50000· 0,06· 0,25 = 50000·(1 + 0,0375 + 0,03 + 0,0225 + 0,015) = 55250 руб.

2.3 Процентный ключ (дивизор).

Процентный платеж в формуле (2.2) можно записать в виде

PV∙ t PV∙ t

I =        =   .                                                             (2.4)

   Т / r D

Здесь D = Т/r называется процентным ключом, постоянным делителем или дивизором, а PV∙ t называется процентным числом.

Дивизор численно равен такому количеству денежных единиц, с которого при процентной ставке r получается 1 дн. ед. дохода в день.

Если процентная ставка r^' выражается в процентах, то формула для расчета дивизора будет

D = 100 ∙ Т / r'

Пример.

Найти процентный платеж с капитала 5 000 руб., положенного в банк под 20% годовых на срок 200 дней, если расчет ведется способом «365/365».

Решение.

Воспользуемся выражением для дивизора и формулой (2.4).

D = 100 ∙ 365 / 20 = 1825     

I = 5000 ∙ 200 / 1825 = 547,95 руб.

Пример.

Сберегательный счет был открыт 3 января, и на него была положена сумма в 10 000 руб. Затем 20 марта со счета были сняты 2 000 руб., 20 апреля добавлена сумма в 1000 руб. и 1 августа счет был закрыт. Все операции осуществлялись в течение года (простой год). Определить сумму полученную владельцем счета, если процентная ставка равнялась 15% годовых и для начисления процентов применялся способ «360/360». Год обыкновенный.

Решение.

Число дней: для 10000руб. (1 авг. (213) – 3 янв.(3) = 210 дн)

         Для 2000 руб.(1 авг. (213) – 20 марта (79) = 134 дн)

         Для 1000 руб.(1 авг. (213) - 20 апр. (110) = 103 дн)

Рассчитаем процентные числа

     10000 ∙ 210 - 2000 ∙ 134 + 1000 ∙ 103 = 1935000               

Дивизор равен

D = 360· 100 / 15 = 2400.

Следовательно, начисленные проценты рравны

I= 1935000 / 2400 = 806,25 руб.,

и владелец счета получит

FV = 10000 –2000+1000 + 806,25= 9806,25  руб.

2.4 Дисконтирование по простым процентам.

.

2.4.1 Математическое дисконтирование.

Это процесс обратный наращению капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения первоначального капитала PV, который через t лет при наращении по схеме простого процента по годовой ставке r приведет к увеличению капитала до значения FV. Из формулы (2.1) следует, что

     FV

PV =                                                                                   (2.5)

     1 + r·t

В качестве ставки дисконтирования используется процентная ставка r. Разность между FV и PV называется дисконтом D_r.

              FV· r · t

D_r = FV - PV =                                                                   (2.6)

              1 + r·t

Дисконт D_r не пропорционален ни времени, ни ставке процента r.

Пример.

Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 млн. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14 % годовых и начисляются обыкновенные проценты по схеме "360/360".

Решение.

Расчет ведем по формулам (2.5),(2.6):

PV = FV / (1+ r∙ t / T ) = 2,14 / ( 1 + 0.14 ∙ 180 / 360 ) = 2 млн. руб.;

D_r =FV - PV = 2,14 - 2 = 0,14 млн. руб.

2.4.2 Банковское дисконтирование (банковский учет).

Существует дисконт, понимаемый как скидка с конечной суммы долга, который может быть установлен сразу в виде некоторой суммыили рассчитан на основе ставки дисконтирования. Этот дисконт называется банковским дисконтом и применяется для учета векселей.

Векселя могут оформляться по разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению (номинальной стоимостью векселя), т.е. с величиной FV. В этом случае владелец векселя предъявляет его в банк для досрочного погашения. Банк соглашается его купить но, удерживая в свою пользу часть номинальной стоимости векселя, которая обычно называется дисконтом D_d. В этом случае банк предлагает владельцу сумму PV, исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (учетной ставки) – d, которая будет меньше номинальной стоимости векселя. Дисконт D_dв этом случае представляет собой проценты начисленные за время t от дня дисконтирования до дня погашения и будет равен

D_d= FV·t·d                                                                     (2.7)

И владелец получит

PV = FV (1 - td)                                                                 (2.8)

Заметим, что математический дисконт D_r всегда положителен, а из формулы (2.8) следует, что

1 - td> 0 или t< 1 / d

Если вексель погашается досрочно за t дней до даты законного погашения векселя, то из формулы (2.8) с учетом коэффициента учитывающего относительную длину периода до погашения - t / T , где Т число дней в году, получим следующую формулу для расчета выплачиваемой в этом случае банком суммы

              t

PV = FV( 1 – d ∙ ¾ ),                                                        (2.9)

              T

а для дисконта, имеем

     t       

D_d =FV — d                                                                       (2.10)

     T      

Пример.

Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 100 000 руб. со сроком погашения 28.09.2017г. Вексель предъявлен 13.09.2017г. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 50 % годовых. Найти сумму, которую получит векселедержатель по векселю.

Решение.

Количество дней от момента учета векселя до погашения:

28.09.2017г.(271). – 13.09.2017г.(256)= 15 дн.

По формуле (2.9) найдем сумму, которую получит векселедержатель

PV = 100000· (1 – 0,5 ∙ 15/360) = 97916,67 руб.

Потребительский кредит.