Координаты вектора в базисе

Элементы a₁, ... ,a_пполя Р в равенстве а = u₁a₁+ ... + и_пa_п , в котором = (u₁,... ,и_п) базис n-мерного пространства L над полем Р называются координатами вектора а в базисе ,а составленный из них столбец  называется столбцом координатвектора а в базисе .

Для любого фиксированного базиса линейного пространства Lкаждому вектору однозначно ставится в соответствие столбец его координат.

В пространстве L кроме базиса = (u₁,... ,и_п) может быть выбран и другой базис, например  = (w₁,..., w_n). Каждый вектор этого нового базиса может быть линейно выражен через вектора базиса , так что будет получена следующая система равенств: w₁= , . . . , w_n= , которая в свою очередь может быть записана в матричном виде следующим образом: .

Столбцы матрицы являются столбцами координат векторов базиса в базисе . Матрица С носит название матрицы перехода от базиса   к базису .

Система векторв  также будет базисом линейного пространства L тогда и только тогда, когда В — невырожденная матрица. Матрица перехода от базиса к базису Dявляется обратной для матрицы B перехода от базиса к базису .

Формула преобразования координат векторов в различных базисах

В n-мерном линейном пространстве L над полем Р рассмотрим произвольный вектор a. Пусть и  два базиса пространства L, и ,  — столбцы координат вектора а соответственно в базисах и .

 Таким образом, выполняются следующие соотношения: , . Воспользуемся полученной ранее матричной зависимостью векторов двух рассматриваемых базисов и получим следующее выражение: . В силу однозначности выражаемости вектора а через базис , из последнего соотношения следует: .

Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности

Любое линейное пространство размерности n>0 над полем Р изоморфно пространству Р⁽ⁿ⁾.

Отсюда становится ясно, что для изоморфизма двух произвольных конечномерных линейных пространств над одним и тем же полем необходимо и достаточно, чтобы они имели одну и ту же размерность.

Скалярное произведение векторов

Скалярным умножениемвекторов пространства Lнад полем действительных чисел R называется бинарная операция, по которой каждой паре α, β векторов из Lставится в соответствие определенное число из R, обозначаемое в виде (α, β). Причем, для любых векторов α, β, γ из Lи любого числа rÎR должны выполняться следующие соотношения:

1) (α, β) = (β,α);

2) (α+β, γ) = (α, γ) +(β, γ);

3) (αr, β) = r(α, β)

4)  (α, α) > 0, если α ≠ θ.

При этом число (α, β) называется скалярным произведениемвекторов α, β.

Линейное пространство L над полем действительных чисел R с определенной операцией скалярного умножения векторов называется евклидовым пространством.

Рассмотрим линейное n-мерное пространство столбцов R⁽ⁿ⁾ над полем R. Для элементов этого пространстваскалярное умножение может быть определено следующим образом: .

Определенное скалярное произведение часто называют каноническим.Скалярное произведение векторов-функций может быть определено следующей формулой: .

Нормированные пространства

Для произвольного линейного пространства L над полем действительных чисел R вместо термина «длина» используется термин «норма», а для обозначения нормы элемента aÎL используется обозначение |a|.Для нормы любых векторов α, βÎLи любого числа rÎR должны выполняться следующие соотношения:

1) ;

2)

3)

Последнее, третье свойство носит название аксиомы треугольника. Оно соответствует тому факту, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

Все три, приведенные выше свойства называют аксиомами нормы, а линейное пространство над полем действительных чисел R с заданной нормой, называют нормированным.

Норма вектора a евклидова пространства, обозначаемая , может быть определена как квадратный арифметический корень из скалярного произведения вектора a на самого себя: .

Метрические пространства

Если в произвольном линейном пространстве L над полем действительных чисел R для любых двух векторов α,bÎL определена числовая функция ρ(α, β)ÎR, обладающая следующими свойствами:

1) ρ(α, β)> 0 при α ≠ β; ρ(α, α) = 0

2) ρ(α, β) = ρ(β, α);

3) ρ(α, β) + ρ(β, γ) ≥ ρ(α, γ), γÎL ,

то ρ(α,β) называется расстоянием или метрикой, а пространство L называется метрическим пространством.

Приведенные выше три свойства называются аксиомами метрики.

Для установления справедливости третьей аксиомы метрики также было использовано неравенства Коши-Буняковского: .

Доказательство:если α = θ, то | θ |·|β | = 0·|β | =0 и |(θ, β)| = 0, следовательно неравенство выполняется. Будем теперь считать α≠θ. По свойствам скалярного произведения (αr + b, αr +b)  0 (при любом rÎR) и

(αr + b, αr +b) = r²(α, α) + 2r(α, b) + (b,b),

 при  получаем:

Отсюда, в силу того, что левая и правая части последнего неравенства неотрицательны, получаем:  и далее . Что и требовалось доказать.|

Полученное неравенство при α ≠ θ, β ≠ θ может быть записано следующим образом: .

Отсюда следует возможность введения угла jÎ[0,p] между ненулевыми векторами α и β евклидова пространства, который определяется соотношением: .