Векторное произведение векторов

Расположение векторов в левой и правой тройках некомпланарных векторов совпадает с расположением пальцев соответственно на левой и правой руках, если считать, что — большой палец, — указательный палец и  — средний палец.

Так как любая некомпланарная тройка векторов пространства образует базис, то в зависимости от ориентации этих векторов можно говорить о правом и левом базисах пространства.

Базис ( ), введенный ранее для ортонормированной системы координат всегда будет считаться правым.

Векторным произведением векторов  называется вектор , такой что: 1)  2) Для неколлинеарных векторов  тройка векторов ( ) должна быть правой. 3) Кроме того, должно выполняться соотношение:

Векторное произведение векторов обычно обозначается в виде .

Векторному произведению векторов можно придать механический и геометрический смысл.

Вектор  есть момент силы , приложенной к концу вектора относительно точки начала вектора .

Длина вектора равна и равна площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах .

Определенная выше операция векторного произведения векторов обладает рядом свойств, а именно:  тогда и только тогда, когда вектора и - коллинеарны;

;

Отметим особо, что векторное произведение не ассоциативно, то есть в общем случае .

Плоскость и прямая линия в пространстве. Уравнения плоскости

Пусть в пространстве задана плоскость р. Для того, чтобы записать уравнение заданной плоскости введем в пространстве декартову систему, координат OXYZи ортонормированный правый базис ( ).

Положение плоскости р в пространстве однозначно определяется точкой Т₀ принадлежащей этой плоскости и любым ненулевым вектором , перпендикулярным к р.

Т₀=(x₀,y₀,z₀), = (A,B,C).

Пусть Т(х, у, z) — любая точка пространства, принадлежащая рассматриваемой плоскости р.

Ax + By + Cz + D = 0,

гдеD = – Ax₀ – By₀ – Cz₀.

• Пусть р — плоскость, на которой заданы точки Т₁(x₁, y₁, z₁), Т₂(x₂, y₂, z₂) и Т₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой. Произвольная точка T(х, у, z) пространства тогда и только тогда лежит на плоскости р, когда все вектора лежат вплоскости р. Значит система векторов  компланарна и по ранее отмеченному свойству, найдутся не все нулевые действительные числа с₁, с₂, с₃, для которых: