Множество с одной бинарной ассоциативной операцией называется группой если

а) оно содержит нейтральный элемент;

б) для любого его элемента существует обратный.

Множество с двумя ассоциативными операциями (сложения + , и умножения×) называется кольцом если:

а) оно является коммутативной группой относительно сложения

б) операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения, то есть для любых элементов a, bиcисходного множества справедливы тождества:

(a + b)× c = a× c +b× c

c× (a + b) = c× a + c × b

Полем называется коммутативное кольцо (то есть обе бинарные операции коммутативны), в котором существует нейтральный элемент по умножению (единица) и каждый элемент отличный от нуля (нуль - нейтральный по сложению элемент) имеет обратный элемент по умножению.

Линейные пространства

Линейное, или векторное пространство L(P) надполемP — это непустое множествоL, на котором определена внутренняя бинарная операциясложения Å, по которой каждой паре элементов (называемых векторами) x, yÎL ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый x Å yÎL и внешняя операция умножения на скаляр (на элемент поля P с операциями + и ×), то есть любому элементу x Î L и любому элементу λ Î P ставится в соответствии элемент из L(P), обозначаемый λ xÎ L(P).

При этом L является коммутативной группой с нейтральным элементом, как правило, обозначаемым θ. Кроме того, выполняются следующие условия:

- a(bx) = (a×b)x (ассоциативность умножения скаляров a, bÎPи вектораxÎL);

- (a+b) x = axÅ bx (дистрибутивность умножения вектора xÎL относительно сложения скаляров a, bÎP);

- a ( x Å y) = axÅ a y (дистрибутивность умножения скаляра aÎPотносительно сложения векторов x, yÎL).

- ex = x (e - нейтральный элемент относительно умножения в поле P, xÎL).

Важную роль играют пространства матриц размеров 1 ´n и n´ 1, т. е. пространства векторов-строк и векторов-столбцов длины nнад полем P. Эти пространства называются арифметическимии для их обозначения часто используются символы Рⁿи P⁽ⁿ⁾.

Отображения, сохраняющие операции: гомоморфизм и изоморфизм

Определение. Пусть L, К — линейные пространства над одним и тем же полем Р. Отображение , удовлетворяющее двум условиям:

1) φ(a + b) = φ (a) + φ (b)длялюбыхa, b ÎL,

2) φ(a r) = φ(a)r длялюбыхrÎP, aÎL,

называется гомоморфизмом L в К и изоморфизмом L на K, если это отображение взаимно однозначно. Пространства L, K называются изоморфными,если существует изоморфизм L на К. Для обозначения изоморфизма пространств Lи К используется следующая символика: L К.