Параллельность и перпендикулярность плоскостей в пространстве.

Для параллельности двух плоскостей, заданных уравнениями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, необходимо и достаточно, чтобы при некотором действительном r выполнялось соотношение (A₁, B₁, С₁) = r(A₂, B₂, С₂).

В связи с приведенным выше соотношением можно заметить, что в случае выполнения равенства (A₁,B₁,С₁,D₁) = r(A,B,C,D) при любом не равном нулю действительном числе r, плоскости р₁ и р₂ будут совпадать.

Для того чтобы плоскости р₁ и р₂ , описываемые соотношениями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы были перпендикулярны вектора (A₁, B₁, С₁) и (A₂, B₂, С₂).  Условие же перпендикулярности двух векторов, как известно, задается равенством нулю их скалярного произведения:

A₁A₂ + B₁B₂ + С₁С₂ = 0.

Уравнения прямой линии в пространстве

Координаты любой точки прямой, по которой пересекаются эти плоскости, являются решением системы двух линейных уравнений: .

Задание прямой линии системой двух уравнений первой степени не однозначно.

Получим для начала каноническое уравнение прямой линии, однозначно определяемой лежащими на нейвектором  и точкой .

Отсюда в случае, когда прямая не параллельна ни одной из координатных плоскостей (то есть, ) следует каноническое уравнение рассматриваемой прямой линии: .

В заключение этого раздела выведем уравнение прямой,проходящей через две точки  и .

Поверхности второго порядка

1. Эллипсоид                                          

2 . Однополостный гиперболоид 

3. Двуполостный гиперболоид                

4. Эллиптический конус             

5. Эллиптический цилиндр             

6. Гиперболический цилиндр                  

7. Параболический цилиндр                 

8. Эллиптический параболоид                 

9. Гиперболический параболоид     

Внутренние бинарные операции и их свойства

Пусть имеется некоторое множество М. Внутренней бинарной операцией * на множестве М называется любой закон, которой каждой паре а, b – элементов из М ставит в соответствие некоторый один элемент с того же множества: с = a*b.

Операция называется ассоциативной, если для любых a, b, c из М выполняется соотношение: (a*b) *c = a* (b*c). Операция называется коммутативной, если для любых a, b из М выполняется соотношение: a*b = b*a.

Элемент e (e называется нейтральным элементом относительно операции *, если для любого а (а выполняется соотношение: a* е = е*a= a.

Если во множестве М существует нейтральный элемент относительно заданной операции, то он единственный.Элемент a' (a' называется обратным (или противоположным) для элемента а относительно операции *, если a'* а = а*a' = е.

Если операция *называется сложением (* обозначается +), то нейтральный элемент относительно нее называется нуль, если - умножением (* обозначается ×), то нейтральный элемент относительно нее называется единица. Обратный элемент относительно сложения (операция +) называется противоположным.

Алгебраические структуры. Полугруппы, группы, кольца, поля.

Множество с одной бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппы называют иногда моноидами.