Разложение группы в смежные классы по подгруппе

Подгруппой называется часть группы, которая сама является группой относительно той же операции.

Для обозначения того, что Н есть подгруппа группы G, используется запись Н < G. Из того, что Н < G, следует, что единицы групп G и Н совпадают.

Правым (левым) смежным классом группы G по ее подгруппе Н называется любое ее подмножество (для любого фиксированного g из G ) вида: Hg = {hg: hÎH}.

Левым смежным классом группы G по ее подгруппе Н называется любое ее подмножество (для любого фиксированного g из G ) вида: gH = {gh: hÎH}.

Пусть g, g₁- любые элементы из G. Тогда Hg₁ = Hgв том и только в том случае, если g₁ÎHg, либо g₁g^-1ÎH. (Аналогичные утверждения справедливы и для левых смежных классов.)

Отношения g₁ÎHg и g₁g^-1ÎH эквивалентны, поскольку получаются друг из друга умножением справа на g^-1 и на g.

Определенное бинарное отношение является отношением эквивалентности на G.

Если количество элементов в группе G конечно, то, естественно, будет конечным и количество правых смежных классов группы G по подгруппе H. Это количество называют индексом подгруппы H в группе G и обозначают в виде [G:H].

Для конечных групп из приведенного выше утверждения может быть получено следующее важное следствие: Если H- подгруппа конечной группы G, то ½G½= ½H½·½G:H½.

Группы подстановок

Подстановкой множества W = {1, 2, 3, ….. , n} называется взаимно однозначное отображение этого множества на себя. Подстановки обычно записывается в виде: . В верхней строке элементы множества W можно записать в любом порядке. Важно лишь то, чтобы в каждом случае под числом k было записано одно и то же число i_k.

Так как отображение взаимно однозначно, то во второй строке таблицы должны встретиться по одному разу все элементы множества W, т. е. набор (i₁, i₂, ..., i_n) должен быть перестановкой чисел 1, 2, ..., n. Заставляя этот набор пробегать все n! перестановок чисел 1, 2, ..., n, получим множество всевозможных подстановок, которое обозначим S_n. Мощность этого множества ½S_n½= n!

На множестве подстановок может быть определена бинарная операция * (обычно эта операция называется умножение), в результате которой осуществляется последовательное отображение множества W на себя.

Множество подстановок S_n является полугруппой (S_n, ·). В полугруппе (S_n, ·) существует нейтральный элемент, которым является тождественная, или единичная, подстановка . Для любого элемента  существует обратный элемент — подстановка

Из всего вышесказанного следует, что множество подстановок S_n является группой. Группу S_n всех подстановок множества W = {1, ..., n} называют симметрической группой подстановок степени n..

Определения и примеры колец и полей

Множество с двумя ассоциативными операциями (сложения + , и умножения × ) называется кольцом если :

а) оно является коммутативной группой относительно сложения;

б) сложение и умножение связаны тождествами дистрибутивности:

(a + b)× c = a× c +b× c

c× (a + b)×= c× a + c × b

Полем называется коммутативное кольцо (то есть обе бинарные операции коммутативны), в котором каждый элемент отличный от нуля (нуль - нейтральный по сложению элемент) имеет обратный.