Системы однородных линейных уравнений

Однородной системой линейных уравнений называется линейная система с нулевым вектором свободных членов. В матричной форме она имеет вид: .

Если задана произвольная система линейных уравнений , то ассоциированной с ней системой однородных линейных уравнений называют систему уравнений, полученную заменой всех свободных членов b_i, (i= 1,..., т) на нули. Очевидно, что однородная система всегда имеет решение, состоящее из всех нулей, то есть такая система всегда совместна.

Любое решение этой системы может быть получено приданием конкретных значений свободным переменным x_r+1,...,х_п и однозначным нахождением по правилу Крамера соответствующих значений переменных x₁,...,х_r. Так для набора значений свободных переменных  = (1,0,..., 0) получим набор значений . Объединяя эти наборы, получаем решение однородной системы: , которые совместно дают решение однородной системы.

Аналогично для наборов значений свободных переменных  = (0,1,..., 0), ..., = (0,0,..., 1) могут быть найдены наборы значений переменных x₁,...,х_r: . Проводя соответствующие объединения, найдем следующие решения однородной системы уравнений: .

Эти решения образуют так называемую фундаментальную систему решений однородной системы. Все остальные решения однородной системы являются их линейными комбинациями.

Структура решений совместных систем линейных уравнений

Пусть имеется совместная система линейных уравнений, записанная в матричном виде: .

В случае, когда решение единственно, оно находится по правилу Крамера и записывается в виде вектора столбца . Подстановка этого вектора в исходную систему уравнений, записанную в виде матричного соотношения, обращает его в матричное тождество: .

Рассмотрим теперь однородную систему линейных уравнений , ассоциированную с исходной системой . Как уже отмечалось ранее, легко проверяется справедливость следующего утверждения: если  есть решения однородной системы , то  также является ее решением при любых с₁, с₂ÎR. Действительно, из того что  решения однородной системы следует, что  и . Подставляя в однородную систему  линейную комбинацию ее решений  при любых с₁, с₂ÎR, получаем:  Следовательно, любая линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений также является ее решением.

Теперь возвращаясь к исходной системе , можно утверждать, что множество  всех решений этой системы может быть записано в виде , где есть множество всех решений однородной системы , ассоциированной с , а - любое фиксированное решение исходной системы уравнений . (То есть, если , то , а ).

Действительно, пусть  , тогда   и . С другой стороны, если  решение исходной системы ( ), то оно может быть представлено в виде .

Таким образом, мы пришли к общепринятой системе записи общего решения исходной системы линейных уравнений , которая выглядит следующим образом: , где  — любое фиксированное решение исходной системы, с₁,..., c_п-r— любые действительные числа, а  фундаментальная система решений ассоциированной однородной системы уравнений , через которую выражается любое другое решение однородной системы.