Линейная зависимость векторов

Система векторов a₁, a₂, …, a_k     пространства Lназывается линейно зависимой, если существуют такие, не все равные нулю, элементы c₁, c_{2, …,} c_k поля Р, при которых выполняется равенство a₁c₁ + a₂c₂ + … +a_kc_k = θ.

Выражение вида a₁c₁ + a₂c₂ + … +a_kc_k = θ называют линейным соотношением. Линейное соотношение называется тривиальным, если в нем все коэффициенты c_iравны нулю, и нетривиальным — в противном случае. Таким образом, система векторов a₁, a₂, …, a_k является линейно зависимой, если между ее векторами существует нетривиальное линейное соотношение.

Система двух векторов плоскости линейно зависима тогда и только тогда, когда она коллинеарна. Система трех векторов пространства зависима тогда и только тогда, когда она компланарна.

Вектор bпространства Lлинейно выражается через векторы a₁, a₂, …, a_k, или является линейной комбинацией векторов a₁, a₂, …, a_k, если найдутся такие r₁, r₂, …, r_kÎ Р, чтовыполняется равенство b = r₁a₁+…+r_ka_k.

Система векторовa₁, a₂, …, a_kприk> 1 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один ее вектор является линейной комбинацией остальных векторов. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор — нулевой.

Свойства линейной зависимости

1) Если вектор пространства линейно выражается через линейно независимую систему векторов, то такое выражение единственно.

2) Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

3) Если какая-либо подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

4) Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

5) Система, состоящая из двух векторов a₁, a₂, линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы a₁, a₂ пропорциональны, т. е. a₁=сa₂ или a₂=сa₁при некотором сÎ Р.

6) Если система векторовa₁, a₂, …, a_s линейно независима, то система, полученная добавлением к ней одного вектора a, линейно зависима в том и только том случае, когда вектор aесть линейная комбинация векторов исходной системы.

7) При изоморфизме пространств линейно зависимая система векторов отображается в линейно зависимую систему векторов, а линейно независимая система векторов отображается в линейно незавиимую систему векторов.

Базис линейного пространства

Базисомпространства L (содержащего более одного элемента)называется произвольная упорядоченная система линейно независимых векторов, через которую линейно выражается любой вектор пространства.Базисом нулевого пространства L = {θ} считается пустая система векторов.

В пространстве Рⁿ (матриц-строк размера 1×n) часто рассматриваемым базисом является система векторов: e₁ = (l,0, ... ,0), е₂ = (0,1, ... ,0), ... ,е_n = (0, 0, ... ,1), которую обычно называют стандартным базисом и обозначают через . В пространстве Рⁿ (матриц-столбцов размера n×1) стандартным базисом называют линейно независимую систему векторов: e₁^T, e₂^T,…, e_n^T(Т означает операцию транспонирования).

Свойства конечных базисов

Если линейное пространство имеет конечный базис, то оно называется конечномерным.Пусть линейное пространство L имеет базис из k векторов. Тогда любая линейно независимая система векторов из L может содержать не более k векторов.

Отсюда следует, что все базисы конечномерного линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов.